solutions des exercices
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15 CONSEIL : Cet exercice est important aussi bien pour l’écrit que pour l’oral du Concours. L’expression de la célérité des ondes transversales est à connaître. Il en va de même pour la fréquence apparente
du phénomène observé au stroboscope.
1. Appliquons la relation fondamentale de la dynamique à l’élément de corde de longueur
ds :
− →
T (x 1 dx, t) −
− →
T (x, t) = m ds ¨ y − → u y . D’où, en projection sur Ox :
T (x 1 dx, t) cos(a(x 1 dx, t)) − T (x, t) cos(a(x, t)) = 0
La quantité T cos a est donc indépendante de x. T cos a ≡ T 0 .
En projection sur Oy : T (x 1 dx, t) sin(a(x 1 dx, t)) − T (x, t) sin(a(x, t)) = mds
≠
2 y
≠t 2 .
Soit
≠
≠x
(T sin a) dx ≈ m dx
≠
2 y
≠t 2 . D’où
≠
≠x
(T 0 tana) ≈ m
≠
2 y
≠t 2 .
Or,
tana =
≠y
≠x
=⇒ T 0
≠
2 y
≠x 2 = m
≠
2 y
≠t 2 =⇒
≠
2 y
≠x 2 =
1
V 2
≠
2 y
≠t 2
avec V =
T 0 /m. V est la célérité des ondes transversales se propageant le long de la
corde.
2.a. y(x, t) = a sin(2pN 0 (t − x/V ))
2.b. N 0 = kN . On observe une corde immobile car entre deux éclairs la corde est le siège
de k vibrations complètes.
N 0 = kN 1 d. Pendant la durée T (= 1/N ) entre deux éclairs, la corde fait, en réalité,
TN 0 = k 1 T d vibrations. En apparence, elle en fait seulement T d. La fréquence du
mouvement apparent est donc n = (T d)/T soit n = d ou encore n = N 0 − kN .
La longueur d’onde est inchangée et l’on a l = V /N 0 = V
/n. D’où V
= V d/N 0 .
Remarquons que si d = 0, on a alors V
= 0. La corde apparaît immobile : on retrouve
le cas précédent.
16 CONSEIL : Cet exercice classique de Physique du Solide est à aborder après l’étude de la partie 1.
On retiendra qu’un milieu discret est dispersif.
à l’équilibre
en mouvement
x'
x
x'
x
x n = na
x n + 1 = (n + 1)a
u n
u x
F n + 1 n
u n + 1
5. ONDES
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