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4. Si le tuyau est ouvert aux deux bouts, alors x = 0 et x = L sont des ventres de
déplacement. Or deux ventres (ou deux nœuds) de déplacement consécutifs sont séparés par l/2. On en déduit donc facilement que les conditions aux limites impliquent
L = ml/2 = mc/(2f ) d’où f = mc/(2L), m = 1, 2, . . ..
Si le tuyau est fermé aux deux bouts, alors x = 0 et x = L sont des nœuds de déplacement
et l’on a encore la condition L = ml/2, ce qui conduit à f = mc/(2L), m = 1, 2, . . ..
Le tuyau ouvert (ou fermé) aux deux bouts admet tous les harmoniques du fondamental
dont la fréquence est maintenant f
0 =
c
2L
.
En conclusion, on observe que la fréquence du fondamental est inversement proportionnelle à la dimension L de la cavité et, ceci, quelles que soient les conditions aux limites.
Plus un instrument de musique est petit et plus les sons qu’il émet sont aigus.
13 CONSEIL : C’est l’exercice classique sur les interférences. Les expressions de la différence de
marche et de l’interfrange doivent être parfaitement connues de tout candidat au CAPES ; les démonstrations
aussi.
1.a. l = c/f =⇒ c = l f = 340 m/s.
1.b. Le déphaseur n’étant pas connecté, les deux vibrations longitudinales arrivant en M
peuvent s’écrire :
s 1 (M, t) = a
cos(vt − K S 1 M)
(147)
s 2 (M, t) = a
cos(vt − K S 2 M)
avec K =
2p
l
(148)
Les directions S 1 M et S 2 M étant voisines, on peut considérer que les vibrations s 1 et s 2
sont pratiquement colinéaires. La vibration résultante s’écrit donc :
s(M, t) = s 1 (M, t) 1 s 2 (M, t) = 2a
cos
K
2
(S 2 M − S 1 M)
cos
vt −
K
2
(S 1 M 1 S 2 M)
(149)
Son amplitude 2a
cos
K
2 (S 2 M − S 1 M)
varie, passant par des maxima et des minima,
lorsqu’on déplace le détecteur le long de Oy ; on observe un phénomène d’interférences.
Elle sera maximale si cos
K
2 (S 2 M − S 1 M)
= ±1 soit si :
D ≡ S 2 M − S 1 M = ml ,
m étant un entier relatif
(150)
Or, pour la différence de marche, on a :
D ≡ S 2 M − S 1 M =
D 2 1
y 1
a
2
2 −
D 2 1
y −
a
2
2
= D
1 1
y 1
a
2
D
2
−
1 1
y −
a
2
D
2
450
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4. Si le tuyau est ouvert aux deux bouts, alors x = 0 et x = L sont des ventres de
déplacement. Or deux ventres (ou deux nœuds) de déplacement consécutifs sont séparés par l/2. On en déduit donc facilement que les conditions aux limites impliquent
L = ml/2 = mc/(2f ) d’où f = mc/(2L), m = 1, 2, . . ..
Si le tuyau est fermé aux deux bouts, alors x = 0 et x = L sont des nœuds de déplacement
et l’on a encore la condition L = ml/2, ce qui conduit à f = mc/(2L), m = 1, 2, . . ..
Le tuyau ouvert (ou fermé) aux deux bouts admet tous les harmoniques du fondamental
dont la fréquence est maintenant f
0 =
c
2L
.
En conclusion, on observe que la fréquence du fondamental est inversement proportionnelle à la dimension L de la cavité et, ceci, quelles que soient les conditions aux limites.
Plus un instrument de musique est petit et plus les sons qu’il émet sont aigus.
13 CONSEIL : C’est l’exercice classique sur les interférences. Les expressions de la différence de
marche et de l’interfrange doivent être parfaitement connues de tout candidat au CAPES ; les démonstrations
aussi.
1.a. l = c/f =⇒ c = l f = 340 m/s.
1.b. Le déphaseur n’étant pas connecté, les deux vibrations longitudinales arrivant en M
peuvent s’écrire :
s 1 (M, t) = a
cos(vt − K S 1 M)
(147)
s 2 (M, t) = a
cos(vt − K S 2 M)
avec K =
2p
l
(148)
Les directions S 1 M et S 2 M étant voisines, on peut considérer que les vibrations s 1 et s 2
sont pratiquement colinéaires. La vibration résultante s’écrit donc :
s(M, t) = s 1 (M, t) 1 s 2 (M, t) = 2a
cos
K
2
(S 2 M − S 1 M)
cos
vt −
K
2
(S 1 M 1 S 2 M)
(149)
Son amplitude 2a
cos
K
2 (S 2 M − S 1 M)
varie, passant par des maxima et des minima,
lorsqu’on déplace le détecteur le long de Oy ; on observe un phénomène d’interférences.
Elle sera maximale si cos
K
2 (S 2 M − S 1 M)
= ±1 soit si :
D ≡ S 2 M − S 1 M = ml ,
m étant un entier relatif
(150)
Or, pour la différence de marche, on a :
D ≡ S 2 M − S 1 M =
D 2 1
y 1
a
2
2 −
D 2 1
y −
a
2
2
= D
1 1
y 1
a
2
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−
1 1
y −
a
2
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