solutions des exercices
i
i
i
i
i
i
i
i
2. c(x, t) = c 1 (x, t) 1 c
1 (x, t), p(x, t) = p 1 (x, t) 1 p
1 (x, t). En x = L, on a ∀t c = 0
(tuyau fermé). Or,
c 1 (x, t) = A 1 e
i(vt−kx)
(onde incidente)
c
1 (x, t) = A
1 e
i(vt1kx)
(onde réfléchie)
c(x, t) = A 1 e
i(vt−kx) 1 A
1 e
i(vt1kx) ; c(L, t) = 0 =⇒ A 1 e
−ikL 1 A
1 e
ikL = 0
D’où A
1 = −A 1 e
−2ikL et
c(x, t) = A 1 e
ivt
e
−ikx
− e
ikx−2ikL
= A 1 e
i(vt−kL)
e
−ik(x−L)
− e
ik(x−L)
= −2i A 1 e
i(vt−kL) sin(k(x − L))
(onde stationnaire)
(145)
p(x, t) = −
1
x S
≠c(x, t)
≠x
=
2ikA 1
x S
e
i(vt−kL) cos(k(x − L))
(onde stationnaire)
(146)
Nœuds de déplacement (voir l’équation (145)) :
sin(k(x − L)) = 0 =⇒ k(x − L) = mp =⇒ x = L 1 m
p
k
= L 1 m
l
2
l est la longueur d’onde (k = 2p/l). L’entier m doit être choisi négatif ou nul car x L.
Deux nœuds de déplacement consécutifs sont séparés par l/2.
Ventres de pression (voir l’équation (146)) :
cos(k(x − L)) = ±1 =⇒ sin(k(x − L)) = 0
Les ventres de pression sont donc des nœuds de déplacement. De même, pour les ventres
de déplacement, on aura :
sin(k(x − L)) = ±1 =⇒ cos(k(x − L)) = 0
Les ventres de déplacement sont donc des nœuds de pression. Leurs abscisses sont
données par :
x = L 1
l
4
1 m
l
2
,
m étant un entier négatif.
Un nœud et un ventre de déplacement consécutifs sont séparés par
l
4
.
3. Si le tuyau est fermé à droite (en x = L) et ouvert à gauche (en x = 0), alors on a un
nœud de déplacement en x = L et nœud de pression (donc un ventre de déplacement)
en x = 0. D’où sin(k(x − L)) = ±1 pour x = 0 soit sin kL = ±1. Doù kL = p/2 1 mp
avec, ici, m entier positif ou nul (car k et L sont positifs).
=⇒ k =
1
L
p
2
1 mp
=
v
c
=
2pf
c
=⇒ f = (2m 1 1)
c
4L
, m = 0, 1, 2, . . .
Le tuyau n’admet que les harmoniques impairs du fondamental de fréquence f 0 =
c
4L
.
5. ONDES
449