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2.b. dl/l = (x 2 − x 1 − dx)/dx. Or, x 2 − x 1 = dx 1 c(x 1 dx, t) − c(x, t). Donc
dl/l = (c(x 1 dx, t) − c(x, t))/dx = ≠c/≠x.
La Loi de Hooke conduit à :
≠c
≠x
=
F
ES
(143)
2.c. En dérivant les deux membres de (143) par rapport à x et en reportant dans (142),
on obtient :
≠
2 c
≠x 2 =
r 0
E
≠
2 c
≠t 2
=⇒ c =
E
r 0
= 5000 m/s
(144)
12 CONSEIL : Dans cet exercice important, on étudie, entre autres, les ondes stationnaires apparaissant dans un tuyau semi-infini. On retiendra les dispositions relatives des nœuds et des ventres de
vibration.
1. On considère une tranche de fluide d’épaisseur infiniment petite, de volume v au repos
(d’après l’approximation acoustique, les variations du volume de la tranche seront très
faibles).
Énergie cinétique de la tranche : E c = (r 0 v)u
2 /2.
Densité volumique d’énergie cinétique : e c = E c /v = r 0 u
2 /2.
D’autre part, la surpression p
variant de 0 à p, le travail des forces de surpression,
W = −
v1Dv
v
p
dv, est égal à E p d’après l’énoncé. Or,
x S = −
1
v
≠v
≠p
S
=⇒ dv = −x S v dp
D’où E p =
p
0
p
x S v dp
= v x S
p
0
p
dp
= v x S p
2 /2.
Densité volumique d’énergie potentielle : e p = E p /v = x S p
2 /2.
Pour une onde harmonique plane progressive se propageant dans le sens x croissant, on a
p/u = R = r 0 c =
r 0 /x S . En notations réelles :
p = p 0 cos(vt − kx) ; u = u 0 cos(vt − kx) ; p 0 = Ru 0
e c =
1
2
r 0 u
2
0 cos
2 (vt − kx) ; e p =
1
2
x S p
2
0 cos
2 (vt − kx)
Or, p 0 = Ru 0 =⇒ p
2
0 = R
2 u
2
0
=⇒ p
2
0 = (r 0 /x S )u
2
0 . On a donc x S p
2
0 = r 0 u
2
0
ce qui entraîne que e c = e p .
e = e c 1 e p = r 0 u
2
0 cos
2 (vt − kx) =⇒ e est une fonction de (t − x/c). Donc e
satisfait à l’équation d’ondes et l’énergie se propage à la célérité c dans le sens x croissant.
De même, pour une onde se propageant dans le sens x décroissant, p et u seraient des
fonctions de (t 1 x/c). On aurait encore e c = e p et e serait, elle-même, une fonction de
(t 1 x/c). L’énergie se propagerait donc à la célérité c dans le sens x décroissant.
dW étant l’énergie traversant l’unité de surface d’onde pendant la durée dt, on a :
dW = ecdt (l’onde a progressé de cdt ; l’énergie contenue dans le volume (cdt 3 1) a
traversé la surface considérée). D’où P = dW /dt = e c.
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i
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2.b. dl/l = (x 2 − x 1 − dx)/dx. Or, x 2 − x 1 = dx 1 c(x 1 dx, t) − c(x, t). Donc
dl/l = (c(x 1 dx, t) − c(x, t))/dx = ≠c/≠x.
La Loi de Hooke conduit à :
≠c
≠x
=
F
ES
(143)
2.c. En dérivant les deux membres de (143) par rapport à x et en reportant dans (142),
on obtient :
≠
2 c
≠x 2 =
r 0
E
≠
2 c
≠t 2
=⇒ c =
E
r 0
= 5000 m/s
(144)
12 CONSEIL : Dans cet exercice important, on étudie, entre autres, les ondes stationnaires apparaissant dans un tuyau semi-infini. On retiendra les dispositions relatives des nœuds et des ventres de
vibration.
1. On considère une tranche de fluide d’épaisseur infiniment petite, de volume v au repos
(d’après l’approximation acoustique, les variations du volume de la tranche seront très
faibles).
Énergie cinétique de la tranche : E c = (r 0 v)u
2 /2.
Densité volumique d’énergie cinétique : e c = E c /v = r 0 u
2 /2.
D’autre part, la surpression p
variant de 0 à p, le travail des forces de surpression,
W = −
v1Dv
v
p
dv, est égal à E p d’après l’énoncé. Or,
x S = −
1
v
≠v
≠p
S
=⇒ dv = −x S v dp
D’où E p =
p
0
p
x S v dp
= v x S
p
0
p
dp
= v x S p
2 /2.
Densité volumique d’énergie potentielle : e p = E p /v = x S p
2 /2.
Pour une onde harmonique plane progressive se propageant dans le sens x croissant, on a
p/u = R = r 0 c =
r 0 /x S . En notations réelles :
p = p 0 cos(vt − kx) ; u = u 0 cos(vt − kx) ; p 0 = Ru 0
e c =
1
2
r 0 u
2
0 cos
2 (vt − kx) ; e p =
1
2
x S p
2
0 cos
2 (vt − kx)
Or, p 0 = Ru 0 =⇒ p
2
0 = R
2 u
2
0
=⇒ p
2
0 = (r 0 /x S )u
2
0 . On a donc x S p
2
0 = r 0 u
2
0
ce qui entraîne que e c = e p .
e = e c 1 e p = r 0 u
2
0 cos
2 (vt − kx) =⇒ e est une fonction de (t − x/c). Donc e
satisfait à l’équation d’ondes et l’énergie se propage à la célérité c dans le sens x croissant.
De même, pour une onde se propageant dans le sens x décroissant, p et u seraient des
fonctions de (t 1 x/c). On aurait encore e c = e p et e serait, elle-même, une fonction de
(t 1 x/c). L’énergie se propagerait donc à la célérité c dans le sens x décroissant.
dW étant l’énergie traversant l’unité de surface d’onde pendant la durée dt, on a :
dW = ecdt (l’onde a progressé de cdt ; l’énergie contenue dans le volume (cdt 3 1) a
traversé la surface considérée). D’où P = dW /dt = e c.
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