solutions des exercices
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Les continuités de la surpression et du débit volumique conduisent à :
1 1 r 12 = t 12
1
Z 1
−
r 12
Z 1
=
t 12
Z 2
D’où :
r 12 =
Z 2 − Z 1
Z 2 1 Z 1
; t 12 =
2Z 2
Z 2 1 Z 1
3.b.
R =
|p
1 u
1 |S 1
|p 1 u 1 |S 1
= r
2
12 =
Z 2 − Z 1
Z 2 1 Z 1
2
T =
|p 2 u 2 |S 2
|p 1 u 1 |S 1
=
Z 1
Z 2
t
2
12 =
4Z 1 Z 2
(Z 2 1 Z 1 ) 2
(R 1 T = 1).
3.c. Si les fluides sont identiques, alors Z 1 = r 1 c 1 /S 1 , Z 2 = r 1 c 1 /S 2 . D’où :
r 12 = (S 1 − S 2 )/(S 1 1 S 2 ) ; t 12 = 2S 1 /(S 1 1 S 2 )
t 12 est toujours positif. Pour la surpression, on n’a pas de changement de phase à la
transmission. En revanche r 12 sera négatif si S 1 < S 2 . On aura un déphasage de p à la
réflexion si S 1 < S 2 .
3.d. Si S 1 = S 2 = S, on a alors Z 1 = R 1 /S et Z 2 = R 2 /S. En remplaçant Z 1 et Z 2 par
leurs expressions, on vérifie facilement que les résultats de la question 3) se réduisent à
ceux de la question 2).
11 CONSEIL : Cet exercice reprend le précédent mais, cette fois, le son se propage dans un solide.
Une comparaison (méthodes et résultats) s’impose donc.
1.
E =
l
dl
F
S
=⇒ E est en N.m
−2
2.a. La masse de la tranche est dm = r 0 S dx. La relation fondamentale de la dynamique
appliquée à la tranche considérée s’écrit :
− →
F 1 1
− →
F 2 = dm a =⇒ F 2 − F 1 = r 0 S dx
≠
2 c
≠t 2
Or,
F 2 − F 1 = F(x 2 , t) − F(x 1 , t) = F(x 1 dx 1 c(x 1 dx, t), t) − F(x 1 c(x, t), t) ≈ dx
≠F
≠x
d’après l’approximation acoustique. D’où :
≠F
≠x
= r 0 S
≠
2 c
≠t 2
(142)
5. ONDES
447
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Les continuités de la surpression et du débit volumique conduisent à :
1 1 r 12 = t 12
1
Z 1
−
r 12
Z 1
=
t 12
Z 2
D’où :
r 12 =
Z 2 − Z 1
Z 2 1 Z 1
; t 12 =
2Z 2
Z 2 1 Z 1
3.b.
R =
|p
1 u
1 |S 1
|p 1 u 1 |S 1
= r
2
12 =
Z 2 − Z 1
Z 2 1 Z 1
2
T =
|p 2 u 2 |S 2
|p 1 u 1 |S 1
=
Z 1
Z 2
t
2
12 =
4Z 1 Z 2
(Z 2 1 Z 1 ) 2
(R 1 T = 1).
3.c. Si les fluides sont identiques, alors Z 1 = r 1 c 1 /S 1 , Z 2 = r 1 c 1 /S 2 . D’où :
r 12 = (S 1 − S 2 )/(S 1 1 S 2 ) ; t 12 = 2S 1 /(S 1 1 S 2 )
t 12 est toujours positif. Pour la surpression, on n’a pas de changement de phase à la
transmission. En revanche r 12 sera négatif si S 1 < S 2 . On aura un déphasage de p à la
réflexion si S 1 < S 2 .
3.d. Si S 1 = S 2 = S, on a alors Z 1 = R 1 /S et Z 2 = R 2 /S. En remplaçant Z 1 et Z 2 par
leurs expressions, on vérifie facilement que les résultats de la question 3) se réduisent à
ceux de la question 2).
11 CONSEIL : Cet exercice reprend le précédent mais, cette fois, le son se propage dans un solide.
Une comparaison (méthodes et résultats) s’impose donc.
1.
E =
l
dl
F
S
=⇒ E est en N.m
−2
2.a. La masse de la tranche est dm = r 0 S dx. La relation fondamentale de la dynamique
appliquée à la tranche considérée s’écrit :
− →
F 1 1
− →
F 2 = dm a =⇒ F 2 − F 1 = r 0 S dx
≠
2 c
≠t 2
Or,
F 2 − F 1 = F(x 2 , t) − F(x 1 , t) = F(x 1 dx 1 c(x 1 dx, t), t) − F(x 1 c(x, t), t) ≈ dx
≠F
≠x
d’après l’approximation acoustique. D’où :
≠F
≠x
= r 0 S
≠
2 c
≠t 2
(142)
5. ONDES
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