solutions des exercices
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1.d. On dérive les deux membres de (127) par rapport à x. En supposant que les opérations
de dérivations partielles par rapport à x et par rapport à t commutent et en utilisant la
relation (126), on établit facilement que :
≠
2 p
≠x 2 = r 0 x S
≠
2 p
≠t 2
(129)
De même, en dérivant les deux membres de (127) par rapport à t et en utilisant u =
≠c
≠t
,
on obtient :
≠
2 u
≠x 2 = r 0 x S
≠
2 u
≠t 2
(130)
1.e.a. Dans une transformation isentropique d’un gaz parfait, on a la relation
PV
g = constante qui entraîne dP/P 1 gdV /V = 0.
On en déduit x S = (−1/V )(dV /dP) = 1/(gP). (P est la pression totale).
De plus, pour une masse m de gaz parfait à la température absolue T 0 , on a
PV = (m/M)RT 0 =⇒ P = (m/V )RT 0 /M ≈ r 0 RT 0 /M. D’où :
c =
1
√ r 0 x S
=
gP
r 0
=
gRT 0
M
(131)
1.e.b. Avec M = 29.10
−3 kg/mol, on obtient pour la vitesse du son c = 343 m/s.
1.f.a. c 1 (x, t) = A 1 e
iv(t−kx/v) = A 1 e
iv(t−x/c) avec c = v/k. D’après la question 1.c.g,
cette onde se propage dans le sens x croissant. On a k = v/c = 2pf /c = 18,32 m
−1 .
1.f.b.
p 1 = −
1
x S
≠c 1
≠x
=
ik
x S
c 1 ; u 1 =
≠c 1
≠t
= ivc 1
1.f.g.
p 1
u 1
=
ik
x S
1
iv
=
1
cx S
= r 0 c = R
(132)
1.g.
p
1 =
−ik
x S
c
1 ; u
1 = ivc
1 ;
p
1
u
1
= −R
(133)
2.a. En prenant en compte les sens de propagation des ondes réfléchie et transmise, on a :
p
1 = p
01 e
i(v
t1k
1 x)
(134)
p 2 = p 02 e
i(v
t−k 2 x)
(135)
La continuité de la surpression en x = 0 s’écrit :
p 1 (x = 0, t) 1 p
1 (x = 0, t) = p 2 (x = 0, t)
∀t
=⇒ p 01 e
ivt 1 p
01 e
iv
t = p 02 e
iv
t
∀t
d’où l’on déduit v = v
= v
5. ONDES
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1.d. On dérive les deux membres de (127) par rapport à x. En supposant que les opérations
de dérivations partielles par rapport à x et par rapport à t commutent et en utilisant la
relation (126), on établit facilement que :
≠
2 p
≠x 2 = r 0 x S
≠
2 p
≠t 2
(129)
De même, en dérivant les deux membres de (127) par rapport à t et en utilisant u =
≠c
≠t
,
on obtient :
≠
2 u
≠x 2 = r 0 x S
≠
2 u
≠t 2
(130)
1.e.a. Dans une transformation isentropique d’un gaz parfait, on a la relation
PV
g = constante qui entraîne dP/P 1 gdV /V = 0.
On en déduit x S = (−1/V )(dV /dP) = 1/(gP). (P est la pression totale).
De plus, pour une masse m de gaz parfait à la température absolue T 0 , on a
PV = (m/M)RT 0 =⇒ P = (m/V )RT 0 /M ≈ r 0 RT 0 /M. D’où :
c =
1
√ r 0 x S
=
gP
r 0
=
gRT 0
M
(131)
1.e.b. Avec M = 29.10
−3 kg/mol, on obtient pour la vitesse du son c = 343 m/s.
1.f.a. c 1 (x, t) = A 1 e
iv(t−kx/v) = A 1 e
iv(t−x/c) avec c = v/k. D’après la question 1.c.g,
cette onde se propage dans le sens x croissant. On a k = v/c = 2pf /c = 18,32 m
−1 .
1.f.b.
p 1 = −
1
x S
≠c 1
≠x
=
ik
x S
c 1 ; u 1 =
≠c 1
≠t
= ivc 1
1.f.g.
p 1
u 1
=
ik
x S
1
iv
=
1
cx S
= r 0 c = R
(132)
1.g.
p
1 =
−ik
x S
c
1 ; u
1 = ivc
1 ;
p
1
u
1
= −R
(133)
2.a. En prenant en compte les sens de propagation des ondes réfléchie et transmise, on a :
p
1 = p
01 e
i(v
t1k
1 x)
(134)
p 2 = p 02 e
i(v
t−k 2 x)
(135)
La continuité de la surpression en x = 0 s’écrit :
p 1 (x = 0, t) 1 p
1 (x = 0, t) = p 2 (x = 0, t)
∀t
=⇒ p 01 e
ivt 1 p
01 e
iv
t = p 02 e
iv
t
∀t
d’où l’on déduit v = v
= v
5. ONDES
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