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1.b.a. L’absence de viscosité ainsi que la lenteur des échanges thermiques comparée à la
propagation de l’onde permettent de justifier le caractère adiabatique et réversible donc
isentropique de l’évolution de la tranche de fluide.
1.b.b. Afin d’utiliser la définition du coefficient de compressibilité, comparons l’état de
la tranche au repos avec son état à l’instant t :
– au repos, son volume est Sdx et sa pression P 0
– à l’instant t, son volume est S(x 2 − x 1 ) et sa pression P 0 1 p
Soit une variation de pression DP = P 0 1 p − P 0 = p et une variation de volume égale à
DV = S(x 2 − x 1 ) − Sdx = S(x 1 dx 1 c(x 1 dx, t) − x − c(x, t)) − Sdx ≈ Sdx
≠c
≠x
D’autre part, on a
x S = −
1
V
≠V
≠P
S
≈ −
1
V
DV
DP
≈ −
1
Sdx
Sdx
≠c
≠x
p
On en déduit facilement
p = −
1
x S
≠c
≠x
(126)
1.c.a. On dérive l’équation précédente par rapport à x et on reporte le résultat dans (125).
On obtient alors l’équation de propagation :
≠
2 c
≠x 2 = r 0 x S
≠
2 c
≠t 2
de la forme
≠
2 c
≠x 2 =
1
c 2
≠
2 c
≠t 2
(127)
1.c.b. Solution générale de cette équation :
c(x, t) = f (t −
x
c
) 1 g(t 1
x
c
) avec c =
1
√ r 0 x S
(128)
1.c.g. Considérons le premier terme, f (t −
x
c
). On a :
f (t −
x
c
) = f (t 1 Dt −
x 1 c Dt
c
)
Le signal est donc le même en x à l’instant t et en x 1 cDt à l’instant t 1 Dt. Ceci signifie
que pendant la durée Dt, il a progressé sans se déformer de cDt. Il se propage dans le
sens x croissant à la célérité c =
1
√ r 0 x S
. De même, g(t 1
x
c
) représente un signal qui
progresse dans le sens x décroissant à la célérité c.
D’autre part, que ce soit pour f ou g, à un instant donné t, tous les points de même
abscisse x sont dans le même état de vibration. On est donc en présence d’ondes planes.
Les surfaces d’ondes sont des plans d’équation x = constante.
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1.b.a. L’absence de viscosité ainsi que la lenteur des échanges thermiques comparée à la
propagation de l’onde permettent de justifier le caractère adiabatique et réversible donc
isentropique de l’évolution de la tranche de fluide.
1.b.b. Afin d’utiliser la définition du coefficient de compressibilité, comparons l’état de
la tranche au repos avec son état à l’instant t :
– au repos, son volume est Sdx et sa pression P 0
– à l’instant t, son volume est S(x 2 − x 1 ) et sa pression P 0 1 p
Soit une variation de pression DP = P 0 1 p − P 0 = p et une variation de volume égale à
DV = S(x 2 − x 1 ) − Sdx = S(x 1 dx 1 c(x 1 dx, t) − x − c(x, t)) − Sdx ≈ Sdx
≠c
≠x
D’autre part, on a
x S = −
1
V
≠V
≠P
S
≈ −
1
V
DV
DP
≈ −
1
Sdx
Sdx
≠c
≠x
p
On en déduit facilement
p = −
1
x S
≠c
≠x
(126)
1.c.a. On dérive l’équation précédente par rapport à x et on reporte le résultat dans (125).
On obtient alors l’équation de propagation :
≠
2 c
≠x 2 = r 0 x S
≠
2 c
≠t 2
de la forme
≠
2 c
≠x 2 =
1
c 2
≠
2 c
≠t 2
(127)
1.c.b. Solution générale de cette équation :
c(x, t) = f (t −
x
c
) 1 g(t 1
x
c
) avec c =
1
√ r 0 x S
(128)
1.c.g. Considérons le premier terme, f (t −
x
c
). On a :
f (t −
x
c
) = f (t 1 Dt −
x 1 c Dt
c
)
Le signal est donc le même en x à l’instant t et en x 1 cDt à l’instant t 1 Dt. Ceci signifie
que pendant la durée Dt, il a progressé sans se déformer de cDt. Il se propage dans le
sens x croissant à la célérité c =
1
√ r 0 x S
. De même, g(t 1
x
c
) représente un signal qui
progresse dans le sens x décroissant à la célérité c.
D’autre part, que ce soit pour f ou g, à un instant donné t, tous les points de même
abscisse x sont dans le même état de vibration. On est donc en présence d’ondes planes.
Les surfaces d’ondes sont des plans d’équation x = constante.
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