solutions des exercices
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10 CONSEIL : Cet exercice est très important aussi bien pour l’écrit que pour l’oral du concours.
L’expression de la célérité du son sera à retenir.
1.
à l’équilibre
lors du passage
de l’onde (instant t)
x'
x'
x
x
x + dx
x
O
O
x 1
x 2
u x
F 1
F 2
Posons x 1 = x 1 c(x, t) et x 2 = x 1 dx 1 c(x 1 dx, t). La masse de fluide contenue
dans la tranche hachurée est : dm = r 0 Sdx = rS(x 2 − x 1 ). De plus, le plan d’abscisse x
au repos a pour abscisse x 1 c(x, t) à l’instant t et x 1 c(x, t 1 dt) à l’instant t 1 dt. Sa
vitesse, la vitesse acoustique, est donc égale à :
x 1 c(x, t 1 dt) − (x 1 c(x, t))
dt
=
c(x, t 1 dt) − c(x, t)
dt
=
≠c(x, t)
≠t
De même, son accélération est
≠
2 c(x, t)
≠t 2 .
1.a. On applique la relation fondamentale de la dynamique à la tranche considérée,
soumise aux seules forces de pression
− →
F 1 et
− →
F 2 . D’où :
− →
F 1 1
− →
F 2 = dm
≠
2 c(x, t)
≠t 2
− → u x
(122)
− → u x est le vecteur unitaire de l’axe x
x. En projection sur cet axe, on a :
F 1 − F 2 = dm
≠
2 c(x, t)
≠t 2
= r 0 Sdx
≠
2 c(x, t)
≠t 2
(123)
Or
F 1 − F 2 = S [P(x 1 c(x, t), t) − P(x 1 dx 1 c(x 1 dx, t), t)]
≈ S(−dx)
≠P(x 1 c, t)
≠x
= S(−dx)
≠p(x 1 c, t)
≠x
Or, p(x 1 c, t) ≈ p(x, t) 1 c
≠p(x,t)
≠x
≈ p(x, t) d’après l’approximation acoustique. D’où,
en reportant l’expression de F 1 − F 2 dans (123) :
S(−dx)
≠p(x, t)
≠x
= r 0 Sdx
≠
2 c(x, t)
≠t 2
Soit
r 0
≠
2 c
≠t 2 = −
≠p
≠x
(125)
5. ONDES
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