i
i
i
i
i
i
i
i
Par intégration, on obtient la tension entre les armatures :
V 1 − V 2 =
q
2pe 0 e r
n
R 2
R 1
=
q
C
=⇒ C =
2pe 0 e r
n
R 2
R 1
(110)
Calcul de L : l’armature interne étant parcourue par I et l’armature externe par (−I ),
on aura un champ magnétique uniquement entre les armatures (théorème d’Ampère).
D’après ce théorème, on a, entre les armatures : B(r).2pr = m 0 I . On en déduit l’énergie
magnétique par unité de longueur :
W =
1
2
LI
2 =
R 2
R 1
B
2 (r)
2m o
2prdr =
R 2
R 1
m 0 I
2pr
2
2m o
2prdr =
m 0 I
2
4p
n
R 2
R 1
=⇒ L =
m 0
2p
n
R 2
R 1
4.b. A.N. V = 1/
√
LC = 1/
√ e 0 e r m 0 = c/
√ e r = 2.10
8 m.s
−1 . R =
L/C = 43,9 V.
4.c. Avec un câble coaxial, on évite les pertes par rayonnement.
8 CONSEIL : On met en évidence, ici, qu’un guide d’ondes est dispersif à cause des parois. C’est une
des causes de la dispersion rencontrée dans les fibres optiques.
1. Sur une paroi conductrice,
− →
E doit être soit nul soit perpendiculaire à la paroi.
− →
E
étant vertical, il est perpendiculaire aux parois horizontales. Les conditions aux limites
imposent donc uniquement que E z = 0 pour y = ±a/2. Vérifions que les formes
proposées satisfont bien à ces conditions.
pour n impair : E z ∝ cos(npy/a) = 0 si y = ±a/2 car cos(±np/2) = 0
pour n pair : E z ∝ sin(npy/a) = 0 si y = ±a/2 car sin(±np/2) = 0
2. Pour n = 1, on a :
E z = E 0 cos(py/a) cos(vt − k
1 x)
D’autre part, l’équation de propagation s’écrit :
DE z =
1
c 2
≠
2 E z
≠t 2
=⇒
≠
2 E z
≠x 2 1
≠
2 E z
≠y 2 1
≠
2 E z
≠z 2 =
1
c 2
≠
2 E z
≠t 2
(112)
On reporte l’expression de E z dans cette dernière équation et on obtient :
−
k
1
2 −
p
a
2
= −
v
2
c 2
=⇒
k
1
2 =
v
2
c 2 −
p
a
2
Pour qu’il y ait propagation, on doit avoir k
1 réel donc :
v
pc
a
= v c1
440
i
i
i
i
i
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Par intégration, on obtient la tension entre les armatures :
V 1 − V 2 =
q
2pe 0 e r
n
R 2
R 1
=
q
C
=⇒ C =
2pe 0 e r
n
R 2
R 1
(110)
Calcul de L : l’armature interne étant parcourue par I et l’armature externe par (−I ),
on aura un champ magnétique uniquement entre les armatures (théorème d’Ampère).
D’après ce théorème, on a, entre les armatures : B(r).2pr = m 0 I . On en déduit l’énergie
magnétique par unité de longueur :
W =
1
2
LI
2 =
R 2
R 1
B
2 (r)
2m o
2prdr =
R 2
R 1
m 0 I
2pr
2
2m o
2prdr =
m 0 I
2
4p
n
R 2
R 1
=⇒ L =
m 0
2p
n
R 2
R 1
4.b. A.N. V = 1/
√
LC = 1/
√ e 0 e r m 0 = c/
√ e r = 2.10
8 m.s
−1 . R =
L/C = 43,9 V.
4.c. Avec un câble coaxial, on évite les pertes par rayonnement.
8 CONSEIL : On met en évidence, ici, qu’un guide d’ondes est dispersif à cause des parois. C’est une
des causes de la dispersion rencontrée dans les fibres optiques.
1. Sur une paroi conductrice,
− →
E doit être soit nul soit perpendiculaire à la paroi.
− →
E
étant vertical, il est perpendiculaire aux parois horizontales. Les conditions aux limites
imposent donc uniquement que E z = 0 pour y = ±a/2. Vérifions que les formes
proposées satisfont bien à ces conditions.
pour n impair : E z ∝ cos(npy/a) = 0 si y = ±a/2 car cos(±np/2) = 0
pour n pair : E z ∝ sin(npy/a) = 0 si y = ±a/2 car sin(±np/2) = 0
2. Pour n = 1, on a :
E z = E 0 cos(py/a) cos(vt − k
1 x)
D’autre part, l’équation de propagation s’écrit :
DE z =
1
c 2
≠
2 E z
≠t 2
=⇒
≠
2 E z
≠x 2 1
≠
2 E z
≠y 2 1
≠
2 E z
≠z 2 =
1
c 2
≠
2 E z
≠t 2
(112)
On reporte l’expression de E z dans cette dernière équation et on obtient :
−
k
1
2 −
p
a
2
= −
v
2
c 2
=⇒
k
1
2 =
v
2
c 2 −
p
a
2
Pour qu’il y ait propagation, on doit avoir k
1 réel donc :
v
pc
a
= v c1
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