solutions des exercices
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Dans aucun des cas, il n’y a de propagation. La ligne ne fournit aucune énergie à la charge.
C’est logique car :
– Z = ∞ =⇒ rien n’est branché (ligne ouverte) ;
– Z = 0 =⇒ ligne court-circuitée ; aucune charge n’est susceptible de consommer ;
– Z = iY =⇒ une charge réactive (inductance pure ou condensateur parfait) ne
consomme pas.
Dans les trois cas, on a réflexion totale.
Si Z = r = R, alors Z(x) = r ; Z(x) est indépendant de x. Dans ce cas, on a : i 1 = 0 et
i(x, t) = i 0 e
i(vt−kx) ; u(x, t) = r i 0 e
i(vt−kx) = r i(x, t)
On est exactement dans la situation opposée à la précédente. Ici, on a de la propagation et
pas de réflexion. Seule subsiste l’onde progressive se propageant dans le sens x croissant.
Tout se passe comme si la ligne était infiniment longue. L’impédance étant résistive, la
ligne fournit de l’énergie à la charge.
Adaptation d’impédance : Si l’on ferme la ligne directement sur une impédance R
fi R,
on aura une réflexion. Pour éviter cela, on utilise un transformateur (supposé parfait). La
ligne alimente alors le primaire de ce transformateur, le secondaire de celui-ci alimentant
à son tour le récepteur d’impédance R
. On aura :
u 1
i 1
= R au primaire ;
u 2
i 2
= R
au secondaire
D’où R
/R = (u 2 /u 1 )(i 1 /i 2 ) = m
2 . En effet, pour un transformateur parfait, le
rapport de transformation m est tel que m = u 2 /u 1 = i 1 /i 2 . On en déduit :
m =
R /R =
√
a = 0,316.
O
r
R 1
R 2
B ( r )
E ( r )
4.a. Calcul de C : la figure
ci-contre représente les deux
cylindres coaxiaux en vue de dessus. C est la capacité par unité
de longueur d’un condensateur
cylindrique infiniment long. On
désigne par q la charge de l’armature interne par unité de longueur. E(r) étant le champ électrique à la distance r de l’axe, on
a, d’après le théorème de Gauss :
E(r)2prh = qh/e 0 e r
d’où :
E(r) = q/(2pre 0 e r ) = −≠V /≠r.
5. ONDES
439
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Dans aucun des cas, il n’y a de propagation. La ligne ne fournit aucune énergie à la charge.
C’est logique car :
– Z = ∞ =⇒ rien n’est branché (ligne ouverte) ;
– Z = 0 =⇒ ligne court-circuitée ; aucune charge n’est susceptible de consommer ;
– Z = iY =⇒ une charge réactive (inductance pure ou condensateur parfait) ne
consomme pas.
Dans les trois cas, on a réflexion totale.
Si Z = r = R, alors Z(x) = r ; Z(x) est indépendant de x. Dans ce cas, on a : i 1 = 0 et
i(x, t) = i 0 e
i(vt−kx) ; u(x, t) = r i 0 e
i(vt−kx) = r i(x, t)
On est exactement dans la situation opposée à la précédente. Ici, on a de la propagation et
pas de réflexion. Seule subsiste l’onde progressive se propageant dans le sens x croissant.
Tout se passe comme si la ligne était infiniment longue. L’impédance étant résistive, la
ligne fournit de l’énergie à la charge.
Adaptation d’impédance : Si l’on ferme la ligne directement sur une impédance R
fi R,
on aura une réflexion. Pour éviter cela, on utilise un transformateur (supposé parfait). La
ligne alimente alors le primaire de ce transformateur, le secondaire de celui-ci alimentant
à son tour le récepteur d’impédance R
. On aura :
u 1
i 1
= R au primaire ;
u 2
i 2
= R
au secondaire
D’où R
/R = (u 2 /u 1 )(i 1 /i 2 ) = m
2 . En effet, pour un transformateur parfait, le
rapport de transformation m est tel que m = u 2 /u 1 = i 1 /i 2 . On en déduit :
m =
R /R =
√
a = 0,316.
O
r
R 1
R 2
B ( r )
E ( r )
4.a. Calcul de C : la figure
ci-contre représente les deux
cylindres coaxiaux en vue de dessus. C est la capacité par unité
de longueur d’un condensateur
cylindrique infiniment long. On
désigne par q la charge de l’armature interne par unité de longueur. E(r) étant le champ électrique à la distance r de l’axe, on
a, d’après le théorème de Gauss :
E(r)2prh = qh/e 0 e r
d’où :
E(r) = q/(2pre 0 e r ) = −≠V /≠r.
5. ONDES
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