i
i
i
i
i
i
i
i
soit :
u 0 = ri 0 ; u 1 = −ri 1 avec r =
k
vC
=
1
V C
=
L
C
D’où :
u(x, t) = r
i 0 e
i(vt−kx)
− i 1 e
i(vt1kx)
(106)
3.
Z ≡ Z(x = D) =
u(D, t)
i(D, t)
= r
i 0 e
−ikD
− i 1 e
1ikD
i 0 e −ikD 1 i 1 e 1ikD
D’où :
i 1 = i 0 e
−2ikD
r − Z
r 1 Z
Soit, en reportant dans les expressions de i(x, t) et de u(x, t) :
i(x, t) = i 0 e
i(vt−kD)
e
−ik(x−D) 1
r − Z
r 1 Z
e
1ik(x−D)
(107)
u(x, t) = ri 0 e
i(vt−kD)
e
−ik(x−D)
−
r − Z
r 1 Z
e
1ik(x−D)
(108)
Z(x) =
u(x, t)
i(x, t)
= r
Z cos(k(x − D)) − ir sin(k(x − D))
r cos(k(x − D)) − iZ sin(k(x − D))
(109)
– Z = ∞ =⇒ Z(x) = ir cotan(k(x − D))
– Z = 0 =⇒ Z(x) = −ir tan(k(x − D))
– Z = iY =⇒ Z(x) = ir
Y − r tan(k(x − D))
r 1 Y tan(k(x − D))
Montrons que, dans chaque cas, on a des ondes stationnaires c’est-à-dire que Re(i(x, t))
se met sous la forme f (t).g(x) (pas de terme de propagation).
– Z = ∞ =⇒
r − Z
r 1 Z
= −1. D’où, avec (107),
i(x, t) = i 0 e
i(vt−kD) (−2i) sin(k(x − D))
Re(i(x, t)) = 2i 0 sin(vt − kD). sin(k(x − D)) ≡ f (t).g(x)
– Z = 0 =⇒
r − Z
r 1 Z
= 1. D’où :
i(x, t) = i 0 e
i(vt−kD) 2 cos(k(x − D))
Re(i(x, t))) = 2i 0 cos(vt − kD). cos(k(x − D)) ≡ f (t).g(x)
– Z = iY =⇒
r − Z
r 1 Z
=
r − iY
r 1 iY
≡ e
−2iu . D’où :
i(x, t) = i 0 e
i(vt−kD)
e
−ik(x−D) 1 e
−2iu e
1ik(x−D)
= i 0 e
i(vt−kD−u)
e
−ik(x−D)1iu 1 e
1ik(x−D)−iu
= i 0 e
i(vt−kD−u) (2 cos(k(x − D) − u))
Re(i(x, t)) = 2i 0 cos(vt − kD − u). cos(k(x − D) − u) ≡ f (t).g(x)
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