solutions des exercices
i
i
i
i
i
i
i
i
Pour éliminer i entre les équations (91) et (96), on dérive les deux membres de (91) par
rapport à x puis les deux membres de (96) par rapport à t. Ceci conduit à :
r
≠i
≠x
1 L
≠
2 i
≠x≠t
= −
≠
2 u
≠x 2
(97)
g
≠u
≠t
1 C
≠
2 u
≠t 2 = −
≠
2 i
≠t≠x
(98)
On admet que
≠
2 i
≠x≠t
=
≠
2 i
≠t≠x
. On peut donc éliminer cette quantité entre les deux
équations précédentes. Ce qui donne :
≠
2 u
≠x 2 = −r
≠i
≠x
1 gL
≠u
≠t
1 LC
≠
2 u
≠t 2
(99)
Finalement, avec (96), on obtient :
≠
2 u
≠x 2 = rgu 1 (rC 1 gL)
≠u
≠t
1 LC
≠
2 u
≠t 2
(100)
qui est l’équation cherchée.
Pour une ligne sans pertes, on a : r = g = 0. L’équation (100) devient l’équation de
propagation :
≠
2 u
≠x 2 = LC
≠
2 u
≠t 2
(101)
La même équation sera satisfaite par le courant i.
2. (101) est de la forme :
≠
2 u
≠x 2 =
1
V 2
≠
2 u
≠t 2
(102)
C’est une équation de propagation et V est la célérité des signaux dans la ligne :
V =
1
√
LC
(103)
Les ondes étant harmoniques, u(x, t) et i(x, t) sont la superposition de deux termes, l’un
fonction de (vt −kx) (onde progressive se propageant dans le sens des x croissants), l’autre
fonction de (vt 1 kx) (onde progressive se propageant dans le sens des x décroissants).
On aura donc :
i(x, t) = i 0 e
i(vt−kx) 1 i 1 e
i(vt1kx)
(104)
u(x, t) = u 0 e
i(vt−kx) 1 u 1 e
i(vt1kx)
(105)
(k est le module du vecteur d’onde ; k = v/V ). On reporte ces expressions dans (96) avec
g = 0, on a :
iki 0 e
i(vt−kx)
− iki 1 e
i(vt1kx) = Civ
u 0 e
i(vt−kx) 1 u 1 e
i(vt1kx)
Par identification, on obtient :
ki 0 = Cvu 0 ; −ki 1 = Cvu 1
5. ONDES
437
i
i
i
i
i
i
i
i
Pour éliminer i entre les équations (91) et (96), on dérive les deux membres de (91) par
rapport à x puis les deux membres de (96) par rapport à t. Ceci conduit à :
r
≠i
≠x
1 L
≠
2 i
≠x≠t
= −
≠
2 u
≠x 2
(97)
g
≠u
≠t
1 C
≠
2 u
≠t 2 = −
≠
2 i
≠t≠x
(98)
On admet que
≠
2 i
≠x≠t
=
≠
2 i
≠t≠x
. On peut donc éliminer cette quantité entre les deux
équations précédentes. Ce qui donne :
≠
2 u
≠x 2 = −r
≠i
≠x
1 gL
≠u
≠t
1 LC
≠
2 u
≠t 2
(99)
Finalement, avec (96), on obtient :
≠
2 u
≠x 2 = rgu 1 (rC 1 gL)
≠u
≠t
1 LC
≠
2 u
≠t 2
(100)
qui est l’équation cherchée.
Pour une ligne sans pertes, on a : r = g = 0. L’équation (100) devient l’équation de
propagation :
≠
2 u
≠x 2 = LC
≠
2 u
≠t 2
(101)
La même équation sera satisfaite par le courant i.
2. (101) est de la forme :
≠
2 u
≠x 2 =
1
V 2
≠
2 u
≠t 2
(102)
C’est une équation de propagation et V est la célérité des signaux dans la ligne :
V =
1
√
LC
(103)
Les ondes étant harmoniques, u(x, t) et i(x, t) sont la superposition de deux termes, l’un
fonction de (vt −kx) (onde progressive se propageant dans le sens des x croissants), l’autre
fonction de (vt 1 kx) (onde progressive se propageant dans le sens des x décroissants).
On aura donc :
i(x, t) = i 0 e
i(vt−kx) 1 i 1 e
i(vt1kx)
(104)
u(x, t) = u 0 e
i(vt−kx) 1 u 1 e
i(vt1kx)
(105)
(k est le module du vecteur d’onde ; k = v/V ). On reporte ces expressions dans (96) avec
g = 0, on a :
iki 0 e
i(vt−kx)
− iki 1 e
i(vt1kx) = Civ
u 0 e
i(vt−kx) 1 u 1 e
i(vt1kx)
Par identification, on obtient :
ki 0 = Cvu 0 ; −ki 1 = Cvu 1
5. ONDES
437