solutions des exercices
i
i
i
i
i
i
i
i
dans l’intégrale restante. D’où, finalement :
W =
aE
2
0 S
m 0 v
=
cos u E
2
0 S
m 0 c
4.d.
dW
dv
= (e 0 /2)
E
2
1
B
2
/(2m 0 )
En moyennant sur le temps et l’espace, on a
cos
2 (. . .)
=
sin
2 (. . .)
= 1/2. D’autre
part, comme a
2 1b
2 = k
2 , k = v/c et e 0 m 0 c
2 = 1, on obtient
dW
dv
= e 0 E
2
0 . D’après
la dernière question de l’exercice corrigé en 2, on a :
W = V E S
dW
dv
soit cos uE
2
0 S/(m 0 c) = V E Se 0 E
2
0 . D’où :
V E = c cos u < c
;
V E .V f = c
2
4 CONSEIL : Il est indispensable d’étudier la partie 3 et, notamment, les conditions de passage en
3.2. avant d’aborder cet exercice.
1. Par définition, c =
1
√ e 0 m 0
, c 1 =
1
√ e 1 m 0
=
c
n 1
et c 2 =
1
√ e 2 m 0
=
c
n 2
. On en
déduit :
n 1 =
e 1
e 0
;
n 2 =
e 2
e 0
Dans les questions 2) et 3), on utilisera la continuité de
− →
B (milieux non magnétiques en
l’absence de courant) à la traversée du plan xOy soit
− →
B i 1
− →
B r =
− →
B t ∀t en tout point du plan xOy
(72)
2.a. Les champs électriques
− →
E i ,
−
→
E r ,
− →
E t sont colinéaires à Ox et donc parallèles au plan
xOy de séparation des deux milieux. On aura donc, par continuité de la composante
tangentielle :
− →
E i 1
− →
E r =
− →
E t ∀t en tout point du plan xOy
(73)
2.b. Si v
et v
désignent les pulsations des ondes réfléchie et transmise et k
et k
leurs
vecteurs d’onde respectifs, on peut réécrire (73) en termes d’amplitudes complexes :
E
0
i e
i(vt−kyy) 1 E
0
r e
i(v
t−k
y y) = E
0
t e
i(v
t−k
y y)
∀t, y
(74)
Cette relation étant vraie quel que soit t, on en déduit que v = v
= v
. De même, (74)
étant vraie ∀y, on a k y = k
y = k
y .
Or k y = (v/c 1 ) sin i 1 , k
y = (v/c 1 ) sin i
1 et k
y = (v/c 2 ) sin i 2 . (On suppose les angles i 1 ,
i
1 et i 2 compris entre 0 et p/2).
5. ONDES
429
i
i
i
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i
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dans l’intégrale restante. D’où, finalement :
W =
aE
2
0 S
m 0 v
=
cos u E
2
0 S
m 0 c
4.d.
dW
dv
= (e 0 /2)
E
2
1
B
2
/(2m 0 )
En moyennant sur le temps et l’espace, on a
cos
2 (. . .)
=
sin
2 (. . .)
= 1/2. D’autre
part, comme a
2 1b
2 = k
2 , k = v/c et e 0 m 0 c
2 = 1, on obtient
dW
dv
= e 0 E
2
0 . D’après
la dernière question de l’exercice corrigé en 2, on a :
W = V E S
dW
dv
soit cos uE
2
0 S/(m 0 c) = V E Se 0 E
2
0 . D’où :
V E = c cos u < c
;
V E .V f = c
2
4 CONSEIL : Il est indispensable d’étudier la partie 3 et, notamment, les conditions de passage en
3.2. avant d’aborder cet exercice.
1. Par définition, c =
1
√ e 0 m 0
, c 1 =
1
√ e 1 m 0
=
c
n 1
et c 2 =
1
√ e 2 m 0
=
c
n 2
. On en
déduit :
n 1 =
e 1
e 0
;
n 2 =
e 2
e 0
Dans les questions 2) et 3), on utilisera la continuité de
− →
B (milieux non magnétiques en
l’absence de courant) à la traversée du plan xOy soit
− →
B i 1
− →
B r =
− →
B t ∀t en tout point du plan xOy
(72)
2.a. Les champs électriques
− →
E i ,
−
→
E r ,
− →
E t sont colinéaires à Ox et donc parallèles au plan
xOy de séparation des deux milieux. On aura donc, par continuité de la composante
tangentielle :
− →
E i 1
− →
E r =
− →
E t ∀t en tout point du plan xOy
(73)
2.b. Si v
et v
désignent les pulsations des ondes réfléchie et transmise et k
et k
leurs
vecteurs d’onde respectifs, on peut réécrire (73) en termes d’amplitudes complexes :
E
0
i e
i(vt−kyy) 1 E
0
r e
i(v
t−k
y y) = E
0
t e
i(v
t−k
y y)
∀t, y
(74)
Cette relation étant vraie quel que soit t, on en déduit que v = v
= v
. De même, (74)
étant vraie ∀y, on a k y = k
y = k
y .
Or k y = (v/c 1 ) sin i 1 , k
y = (v/c 1 ) sin i
1 et k
y = (v/c 2 ) sin i 2 . (On suppose les angles i 1 ,
i
1 et i 2 compris entre 0 et p/2).
5. ONDES
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