solutions des exercices
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SOLUTIONS
1 CONSEIL : Cet exercice, ainsi que les deux suivants, ne peuvent être abordés de manière fructueuse
qu’après l’étude de la partie 2.
1. Les équations de Maxwell dans le vide s’écrivent
div
− →
E = 0
(62)
− →
rot
− →
E = −
≠
− →
B
≠t
(63)
div
− →
B = 0
(64)
− →
rot
− →
B = e 0 m 0
≠
− →
E
≠t
(65)
Appliquons l’opérateur
− →
rot sur les deux membres de (63).
Avec la relation
− →
rot
− →
rot =
−− →
grad div − D on obtient l’équation d’onde :
D
− →
E = e 0 m 0
≠
2 − →
E
≠t 2
(66)
de même, (65) conduit à
D
− →
B = e 0 m 0
≠
2 − →
B
≠t 2
(67)
2.a.
− →
E ne dépend que de z et t. (66) s’écrit :
≠
2 − →
E
≠z 2 = e 0 m 0
≠
2 − →
E
≠t 2
(68)
ce qui équivaut à :
≠
2 E x
≠z 2 = e 0 m 0
≠
2 E x
≠t 2 ;
≠
2 E y
≠z 2 = e 0 m 0
≠
2 E y
≠t 2 ;
≠
2 E z
≠z 2 = e 0 m 0
≠
2 E z
≠t 2
Solution générale :
E x = f (t − z/c) 1 g(t 1 z/c) avec la célérité c =
1
√ e 0 m 0
(69)
De même pour E y , E z , B x , B y , B z . Le premier (resp. deuxième) terme dans (69) correspond
à une onde progressive se propageant sans se déformer à la célérité c dans le sens z croissant
(resp. décroissant).
2.b. On ne considère que l’onde se propageant dans le sens z croissant.
div
− →
E = 0 =
≠E x
≠x
1
≠E y
≠y
1
≠E z
≠z
=
≠E z
≠z
On en déduit que E z ne dépend pas de z. De plus, comme E z est fonction de la variable
(t − z/c), E z ne dépendra pas, non plus, de t. On a donc E z = 0 (E z = Cte fi 0 supposerait une distribution statique de charges pour produire ce champ uniforme stationnaire,
ce qui est exclu d’après l’énoncé).
5. ONDES
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