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Donner l’expression de la relation de dispersion v = v(k).
Montrer que l’on peut se limiter pour l’étude de v(k) à −p/a < k 1p/a.
Tracer la courbe v(k) dans ce domaine.
4. Soient v f et v g les vitesses de phase et de groupe.
Tracer les courbes v f (k) et v g (k). Discuter.
Exercice 17 Ondoscope (d’après Capes 2001)
(∆)
Un ondoscope est une association de tiges
régulièrement espacées et couplées par un
fil de torsion horizontal. Par construction
de l’appareil, les tiges restent perpendiculaires au fil de torsion. Les tiges peuvent
tourner autour de l’axe fixe (D) horizontal
qui passe par leur centre. L’axe (D) est confondu avec le fil de torsion. On note J D le
moment d’inertie d’une tige par rapport à (D). On désigne par C la constante de torsion
de chaque portion du fil de torsion qui est comprise entre deux tiges consécutives. On
indice par n l’ordre d’une tige sur l’axe (D). La situation « de repos » de l’ondoscope est
définie de la façon suivante :
– la torsion du fil est nulle sur chacune de ses portions ; par conception de l’ondoscope,
toutes les tiges sont alors coplanaires ;
– le plan qui contient alors toutes les tiges garde une direction fixe dans le référentiel
d’étude qu’est le laboratoire.
On note u n l’écart angulaire de la tige n par rapport à sa position « au repos » et l’on
néglige les frottements.
1. Établir que l’équation différentielle vérifiée par le pendule n s’écrit sous la forme
suivante :
¨ u n = −V
2 ( 2 u n − u n−1 − u n11 )
(61)
Exprimer V en fonction de J D et C. On supposera que le pendule n n’est pas situé à une
extrémité de l’échelle.
2. Soit a la distance constante qui sépare deux tiges consécutives sur l’axe (D). On
choisit l’origine des abscisses de sorte que l’abscisse sur (D) du n-ième pendule ait pour
expression x n = n a. On cherche pour les élongations des solutions de la forme
u n (t) = A cos (kna − vt), k et v étant des réels, v étant positif.
2.a. À quoi correspondent les solutions de ce type ? On pourra distinguer les situations
où k est positif et où k est négatif.
2.b. On pose u n = A exp[j(kna − vt)], avec j
2 = −1. En reportant les expressions de
u n , u n−1 et u n11 dans l’équation différentielle établie à la question 1, établir la relation de
dispersion donnant v en fonction de V, a et k.
5. ONDES
423
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Donner l’expression de la relation de dispersion v = v(k).
Montrer que l’on peut se limiter pour l’étude de v(k) à −p/a < k 1p/a.
Tracer la courbe v(k) dans ce domaine.
4. Soient v f et v g les vitesses de phase et de groupe.
Tracer les courbes v f (k) et v g (k). Discuter.
Exercice 17 Ondoscope (d’après Capes 2001)
(∆)
Un ondoscope est une association de tiges
régulièrement espacées et couplées par un
fil de torsion horizontal. Par construction
de l’appareil, les tiges restent perpendiculaires au fil de torsion. Les tiges peuvent
tourner autour de l’axe fixe (D) horizontal
qui passe par leur centre. L’axe (D) est confondu avec le fil de torsion. On note J D le
moment d’inertie d’une tige par rapport à (D). On désigne par C la constante de torsion
de chaque portion du fil de torsion qui est comprise entre deux tiges consécutives. On
indice par n l’ordre d’une tige sur l’axe (D). La situation « de repos » de l’ondoscope est
définie de la façon suivante :
– la torsion du fil est nulle sur chacune de ses portions ; par conception de l’ondoscope,
toutes les tiges sont alors coplanaires ;
– le plan qui contient alors toutes les tiges garde une direction fixe dans le référentiel
d’étude qu’est le laboratoire.
On note u n l’écart angulaire de la tige n par rapport à sa position « au repos » et l’on
néglige les frottements.
1. Établir que l’équation différentielle vérifiée par le pendule n s’écrit sous la forme
suivante :
¨ u n = −V
2 ( 2 u n − u n−1 − u n11 )
(61)
Exprimer V en fonction de J D et C. On supposera que le pendule n n’est pas situé à une
extrémité de l’échelle.
2. Soit a la distance constante qui sépare deux tiges consécutives sur l’axe (D). On
choisit l’origine des abscisses de sorte que l’abscisse sur (D) du n-ième pendule ait pour
expression x n = n a. On cherche pour les élongations des solutions de la forme
u n (t) = A cos (kna − vt), k et v étant des réels, v étant positif.
2.a. À quoi correspondent les solutions de ce type ? On pourra distinguer les situations
où k est positif et où k est négatif.
2.b. On pose u n = A exp[j(kna − vt)], avec j
2 = −1. En reportant les expressions de
u n , u n−1 et u n11 dans l’équation différentielle établie à la question 1, établir la relation de
dispersion donnant v en fonction de V, a et k.
5. ONDES
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