i
i
i
i
i
i
i
i
Dans cet exercice, on se propose d’étudier la propagation de vibrations transversales de
faible amplitude le long d’une corde sans raideur, de longueur L et de masse linéique m.
L’élongation transversale d’un point M de la corde sera notée y(x, t). La force de tension
en ce point sera notée
− →
T . On négligera le poids et la résistance de l’air. De plus, on
supposera que :
|y| | L ,
≠y
≠x
1
Cette dernière condition signifie que l’angle a reste petit.
1. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à un élément de la corde de
longueur ds (ds ≈ dx) dont on suppose le mouvement purement transversal.
Montrer que T cos a est indépendant de x. En négligeant la dépendance en t de cette
quantité, on notera T cos a ≡ T 0 (≈ T au vu des hypothèses faites ci-dessus).
Établir l’équation de propagation à laquelle satisfait y(x, t).
Donner, en fonction de T 0 et de m, l’expression de la célérité V des ondes transversales
se propageant le long de la corde.
2. La corde, horizontale, est reliée à un vibreur dont l’extrémité a un mouvement vertical
d’élongation :
y(0, t) = a. sin(2pN 0 t)
Une onde progressive se propage alors le long de la corde dans le sens des x > 0. On
néglige toute réflexion.
2.a. Donner l’expression de y(x, t).
2.b. On éclaire alors la corde avec un stroboscope émettant N éclairs par seconde. Décrire
ce que l’on observe dans les cas suivants où k est un entier positif :
– N 0 = kN
– N 0 = kN 1 d avec d N .
Calculer, dans ce dernier cas, la fréquence apparente n du phénomène ainsi que la célérité
de propagation apparente V
de l’onde.
Exercice 16 Onde longitudinale sur une file d’atomes
On considère une file de particules identiques de masse m situées à l’équilibre aux points
d’abscisse x n = na (n est un entier relatif ) sur l’axe x
x. On désignera par − → u x le vecteur
unitaire de cet axe. Ces particules peuvent effectuer des déplacements suivant l’axe Ox
et l’on appelle u n la valeur algébrique du déplacement de la particule n. On suppose
qu’il existe entre particules voisines (adjacentes) des forces élastiques proportionnelles à
l’allongement de la distance les séparant (coefficient de proportionnalité a).
1. Donner l’expression de la force
− →
F exercée par la particule n 1 1 sur la particule n.
2. Écrire l’équation différentielle du mouvement de la particule n.
3. Chercher les solutions de cette équation sous la forme d’une onde progressive, soit :
u n = u.e
i(vt−kxn)
422
i
i
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Dans cet exercice, on se propose d’étudier la propagation de vibrations transversales de
faible amplitude le long d’une corde sans raideur, de longueur L et de masse linéique m.
L’élongation transversale d’un point M de la corde sera notée y(x, t). La force de tension
en ce point sera notée
− →
T . On négligera le poids et la résistance de l’air. De plus, on
supposera que :
|y| | L ,
≠y
≠x
1
Cette dernière condition signifie que l’angle a reste petit.
1. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à un élément de la corde de
longueur ds (ds ≈ dx) dont on suppose le mouvement purement transversal.
Montrer que T cos a est indépendant de x. En négligeant la dépendance en t de cette
quantité, on notera T cos a ≡ T 0 (≈ T au vu des hypothèses faites ci-dessus).
Établir l’équation de propagation à laquelle satisfait y(x, t).
Donner, en fonction de T 0 et de m, l’expression de la célérité V des ondes transversales
se propageant le long de la corde.
2. La corde, horizontale, est reliée à un vibreur dont l’extrémité a un mouvement vertical
d’élongation :
y(0, t) = a. sin(2pN 0 t)
Une onde progressive se propage alors le long de la corde dans le sens des x > 0. On
néglige toute réflexion.
2.a. Donner l’expression de y(x, t).
2.b. On éclaire alors la corde avec un stroboscope émettant N éclairs par seconde. Décrire
ce que l’on observe dans les cas suivants où k est un entier positif :
– N 0 = kN
– N 0 = kN 1 d avec d N .
Calculer, dans ce dernier cas, la fréquence apparente n du phénomène ainsi que la célérité
de propagation apparente V
de l’onde.
Exercice 16 Onde longitudinale sur une file d’atomes
On considère une file de particules identiques de masse m situées à l’équilibre aux points
d’abscisse x n = na (n est un entier relatif ) sur l’axe x
x. On désignera par − → u x le vecteur
unitaire de cet axe. Ces particules peuvent effectuer des déplacements suivant l’axe Ox
et l’on appelle u n la valeur algébrique du déplacement de la particule n. On suppose
qu’il existe entre particules voisines (adjacentes) des forces élastiques proportionnelles à
l’allongement de la distance les séparant (coefficient de proportionnalité a).
1. Donner l’expression de la force
− →
F exercée par la particule n 1 1 sur la particule n.
2. Écrire l’équation différentielle du mouvement de la particule n.
3. Chercher les solutions de cette équation sous la forme d’une onde progressive, soit :
u n = u.e
i(vt−kxn)
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