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exerce sur la tranche une force
− →
F 1 . De même, la partie (2) exerce sur la tranche une force
− →
F 2 . On a
− →
F 1 = −F(x 1 , t) i et
− →
F 2 = 1F(x 2 , t) i .
On se place dans le cadre de l’approximation acoustique. De plus, la surface de section S
ne dépend ni de x ni de t.
2.a. Exprimer la masse de la tranche en fonction de r 0 , S et dx. À l’aide de la relation
fondamentale de la dynamique, établir une relation entre ≠
2 c/≠t
2 et une dérivée de F.
2.b. Calculer la variation relative de longueur de la tranche lors du passage de l’onde.
À l’aide de la Loi de Hooke, établir une relation entre F et une dérivée de c.
2.c. Déduire des questions précédentes, l’équation de propagation satisfaite par c.
Donner l’expression de la célérité, c, du son dans le barreau en fonction de E (module de
Young) et de r 0 .
Application numérique : calculer c, en m/s, pour un barreau en acier (E = 2.10
11 SI,
r 0 = 8 g/cm
3 ).
Exercice 12 Ondes acoustiques. Énergie. Réflexion totale
On reprend les notations de l’exercice 10. On considère dans un premier temps une onde
plane progressive (absence de réflexion).
1. Montrer que l’on peut définir une densité volumique d’énergie cinétique e c (x, t) due à
l’onde par :
e c (x, t) = r 0 .u(x, t)
2 /2
L’énergie potentielle correspond au travail des forces de surpression lorsqu’on passe de
l’état où le fluide est au repos à un état où la surpression est p.
Montrer alors que la densité volumique d’énergie potentielle e p (x, t) de l’onde est :
e p (x, t) = x S .p(x, t)
2 /2
Attention : ces expressions de l’énergie ne sont pas correctes en notation complexe. Donc,
dans les relations ci-dessus, u(x, t) et p(x, t) sont réelles.
Montrer que, pour une onde harmonique, les densités d’énergie cinétique et potentielle
sont égales.
Montrer que l’énergie acoustique e(x, t) satisfait à l’équation d’onde et, donc, qu’elle se
propage à la vitesse c.
Donner l’expression de la puissance P(x, t) transportée par l’onde par unité de surface
normale à la direction de propagation.
2. On considère, maintenant, un tuyau fermé à droite en x = L et infiniment long vers la
gauche. Une onde harmonique, incidente, progressant dans le sens des x croissants subit
donc une réflexion en x = L. On suppose la réflexion totale.
Donner les expressions, pour x L, du déplacement acoustique c(x, t) et de la surpression
acoustique p(x, t) (notations complexes).
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exerce sur la tranche une force
− →
F 1 . De même, la partie (2) exerce sur la tranche une force
− →
F 2 . On a
− →
F 1 = −F(x 1 , t) i et
− →
F 2 = 1F(x 2 , t) i .
On se place dans le cadre de l’approximation acoustique. De plus, la surface de section S
ne dépend ni de x ni de t.
2.a. Exprimer la masse de la tranche en fonction de r 0 , S et dx. À l’aide de la relation
fondamentale de la dynamique, établir une relation entre ≠
2 c/≠t
2 et une dérivée de F.
2.b. Calculer la variation relative de longueur de la tranche lors du passage de l’onde.
À l’aide de la Loi de Hooke, établir une relation entre F et une dérivée de c.
2.c. Déduire des questions précédentes, l’équation de propagation satisfaite par c.
Donner l’expression de la célérité, c, du son dans le barreau en fonction de E (module de
Young) et de r 0 .
Application numérique : calculer c, en m/s, pour un barreau en acier (E = 2.10
11 SI,
r 0 = 8 g/cm
3 ).
Exercice 12 Ondes acoustiques. Énergie. Réflexion totale
On reprend les notations de l’exercice 10. On considère dans un premier temps une onde
plane progressive (absence de réflexion).
1. Montrer que l’on peut définir une densité volumique d’énergie cinétique e c (x, t) due à
l’onde par :
e c (x, t) = r 0 .u(x, t)
2 /2
L’énergie potentielle correspond au travail des forces de surpression lorsqu’on passe de
l’état où le fluide est au repos à un état où la surpression est p.
Montrer alors que la densité volumique d’énergie potentielle e p (x, t) de l’onde est :
e p (x, t) = x S .p(x, t)
2 /2
Attention : ces expressions de l’énergie ne sont pas correctes en notation complexe. Donc,
dans les relations ci-dessus, u(x, t) et p(x, t) sont réelles.
Montrer que, pour une onde harmonique, les densités d’énergie cinétique et potentielle
sont égales.
Montrer que l’énergie acoustique e(x, t) satisfait à l’équation d’onde et, donc, qu’elle se
propage à la vitesse c.
Donner l’expression de la puissance P(x, t) transportée par l’onde par unité de surface
normale à la direction de propagation.
2. On considère, maintenant, un tuyau fermé à droite en x = L et infiniment long vers la
gauche. Une onde harmonique, incidente, progressant dans le sens des x croissants subit
donc une réflexion en x = L. On suppose la réflexion totale.
Donner les expressions, pour x L, du déplacement acoustique c(x, t) et de la surpression
acoustique p(x, t) (notations complexes).
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