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1.b. L’évolution de la portion de fluide considérée est supposée isentropique.
1.b.a. Justifier brièvement cette hypothèse.
1.b.b. On rappelle que le coefficient de compressibilité isentropique d’un fluide est défini
par :
x S = −
1
V
≠V
≠P
S
où V est le volume du fluide et P sa pression ; pour le fluide contenu dans le tuyau
cylindrique, on supposera que x S est une constante. Montrer que l’on peut écrire :
p = −
1
x S
≠c
≠x
1.c.a. En utilisant les résutats des questions 1.a) et 1.b), établir l’équation vérifiée par la
grandeur c(x, t).
1.c.b. Quelle est la solution générale de cette équation ?
1.c.g. Montrer que l’on peut interpréter chacun des deux termes intervenant dans la
réponse 1.c.b) comme des ondes planes progressives se propageant à la célérité c (vitesse
du son).
Donner l’expression de c.
1.d. Montrer que les grandeurs p(x, t) et u(x, t) satisfont à la même équation de propagation que c(x, t).
1.e.a. Le fluide est de l’air considéré comme un gaz parfait :
– de g = C p /C v = 1,40 ;
– de masse molaire M = 29 g.mol
−1 ;
– de température T 0 = 293 K.
La constante molaire des gaz parfait est R = 8,32 J.mol
−1 .K
−1 .
Donner l’expression de c en fonction de g, R, T 0 et M.
1.e.b. Application numérique : calculer c.
1.f. On considère la propagation dans le fluide d’une onde plane progressive sinusoïdale
de pulsation v qu’on représente en notation complexe par :
c 1 (x, t) = A 1 e
i(vt−kx)
où A 1 est une constante et k un réel positif (module du vecteur d’onde).
On supposera dans cette question que le tuyau est infini et donc qu’il n’y a aucune onde
réfléchie se superposant à c 1 .
1.f.a. Dans quel sens se propage cette onde ? Déterminer l’expression de k en fonction
de v et c, et calculer sa valeur pour l’air avec une fréquence de l’onde de 1 kHz.
1.f.b. Exprimer alors p 1 (x, t) et u 1 (x, t), représentations complexes de la surpression et
de la vitesse acoustique.
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1.b. L’évolution de la portion de fluide considérée est supposée isentropique.
1.b.a. Justifier brièvement cette hypothèse.
1.b.b. On rappelle que le coefficient de compressibilité isentropique d’un fluide est défini
par :
x S = −
1
V
≠V
≠P
S
où V est le volume du fluide et P sa pression ; pour le fluide contenu dans le tuyau
cylindrique, on supposera que x S est une constante. Montrer que l’on peut écrire :
p = −
1
x S
≠c
≠x
1.c.a. En utilisant les résutats des questions 1.a) et 1.b), établir l’équation vérifiée par la
grandeur c(x, t).
1.c.b. Quelle est la solution générale de cette équation ?
1.c.g. Montrer que l’on peut interpréter chacun des deux termes intervenant dans la
réponse 1.c.b) comme des ondes planes progressives se propageant à la célérité c (vitesse
du son).
Donner l’expression de c.
1.d. Montrer que les grandeurs p(x, t) et u(x, t) satisfont à la même équation de propagation que c(x, t).
1.e.a. Le fluide est de l’air considéré comme un gaz parfait :
– de g = C p /C v = 1,40 ;
– de masse molaire M = 29 g.mol
−1 ;
– de température T 0 = 293 K.
La constante molaire des gaz parfait est R = 8,32 J.mol
−1 .K
−1 .
Donner l’expression de c en fonction de g, R, T 0 et M.
1.e.b. Application numérique : calculer c.
1.f. On considère la propagation dans le fluide d’une onde plane progressive sinusoïdale
de pulsation v qu’on représente en notation complexe par :
c 1 (x, t) = A 1 e
i(vt−kx)
où A 1 est une constante et k un réel positif (module du vecteur d’onde).
On supposera dans cette question que le tuyau est infini et donc qu’il n’y a aucune onde
réfléchie se superposant à c 1 .
1.f.a. Dans quel sens se propage cette onde ? Déterminer l’expression de k en fonction
de v et c, et calculer sa valeur pour l’air avec une fréquence de l’onde de 1 kHz.
1.f.b. Exprimer alors p 1 (x, t) et u 1 (x, t), représentations complexes de la surpression et
de la vitesse acoustique.
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