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2. Calculer l’intensité de cette onde. Montrer qu’à un instant t l’onde est localisée dans
l’espace. Calculer son étendue spatiale Dx et montrer que la vitesse de propagation de
l’énergie est la vitesse de groupe.
Exercice 10 Propagation d’ondes acoustiques dans un fluide
(d’après Capes 1994)
On néglige l’action de la pesanteur ainsi que toute viscosité ou frottement.
1. Propagation d’une onde acoustique dans un tuyau de section constante contenant un
fluide unique.
au repos
lors du passage
de l’onde (instant t)
x'
x'
x
x
x + dx
x
O
O
x + (x, t)
x + dx + (x + dx, t)
Un tuyau cylindrique de section constante S, d’axe x
x, contient un fluide qui, au repos,
est à la pression P 0 et à la température T 0 ; sa masse volumique est r 0 .
On considère une tranche de fluide qui, au repos, est située entre les abscisses x et x 1 dx
(voir figure ci-dessus). Le passage de l’onde acoustique s’accompagne d’un déplacement
d’ensemble des molécules contenues dans le plan d’abscisse x : soit c(x, t) ce déplacement
à l’instant t ; ainsi la tranche de fluide considérée se trouve à l’instant t entre les plans
x 1 c(x, t) et x 1 dx 1 c(x 1 dx, t). On notera de façon comparable :
– u(x, t), la vitesse de déplacement de la section d’abscisse x à l’instant t ;
– p(x, t), la surpression liée au passage de l’onde en x à t ; ainsi la pression s’écrira
P(x, t) = P 0 1 p(x, t) ;
– r(x, t), la masse volumique du fluide à l’abscisse x, à l’instant t.
On se limitera aux mouvements de faibles amplitudes ; ainsi le déplacement c(x, t), la
surpression p(x, t), la variation de la masse volumique r(x, t)−r 0 et leurs dérivées peuvent
être considérés comme des infiniments petits du premier ordre. On négligera dans la suite
tous les infiniments petits d’ordre supérieur ou égal à deux (approximation acoustique).
1.a. En raisonnant sur la tranche de fluide considérée, établir, en précisant la loi utilisée,
que :
r 0
≠
2 c
≠t 2 = −
≠p
≠x
5. ONDES
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