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On s’intéresse aux ondes, de pulsation v, se propageant dans la direction x
x et telles que
E x = 0 (ondes transversales électriques). De plus, nous nous limiterons uniquement à
l’étude de la composante E z (on pose E y = 0).
Les conditions aux limites imposent que
− →
E , sur une paroi conductrice, est soit nul soit
normal à cette paroi.
1. Montrer que le vecteur
− →
E de composantes :
E x = 0 , E y = 0
et E z = E 0 cos(npy/a) cos(vt − k
n x) , avec n entier impair
(58)
ou E z = E 0 sin(npy/a) cos(vt − k
n x) , avec n pair
(59)
satisfait à ces conditions aux limites.
On parlera, alors, de mode transversal-électrique TE n0 . Dans ce qui suit, on va s’intéresser
au mode TE 10 .
2. En utilisant les équations (57), (58) et (59), déterminer k
1 en fonction de v, c et a.
Montrer que seules les ondes de pulsation v supérieure à une certaine valeur v c1 peuvent se
propager selon le mode TE 10 . Déterminer v c1 (pulsation de coupure du mode considéré).
Calculer la vitesse de phase v f et la vitesse de groupe v g . Quelle relation y a-t-il entre v f ,
v g et c ?
Tracer, sur un même graphique, les courbes représentant les variations de v f et de v g en
fonction de v.
3. Comment faut-il choisir la dimension a du guide afin que, v étant fixée, seul le mode
TE 10 se propage à l’exclusion de tous les autres modes TE n0 avec n 2 ?
Exercice 9
Vitesse de phase. Vitesse de groupe
Ces notions sont abordées, ici, en prenant l’exemple des ondes électromagnétiques. Toutefois, les conclusions de l’exercice ont un caractère tout à fait général.
Une onde électromagnétique plane, polarisée rectilignement, est quasi-monochromatique. Son spectre est centré en v 0 avec un étalement Dv. On considère Dv v 0 .
Cette onde se propage suivant l’axe Ox dans un milieu linéaire, homogène, isotrope,
dispersif mais non absorbant. La relation de dispersion est v = v(k) avec v 0 = v(k 0 ).
On peut décrire cette onde comme la superposition d’ondes planes monochromatiques de
même amplitude, de vecteurs d’onde de normes comprises entre (k 0 −Dk/2) et (k 0 1Dk/2)
avec Dk k 0 . On suppose, de plus, ces ondes en phase à t = 0.
1. Exprimer, en notation complexe, le champ électrique de l’onde résultante. À l’aide
d’un développement limité de la relation de dispersion autour de k = k 0 , exprimer v en
fonction de k 0 , de k
= k − k 0 , de v f et de v g .
412
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On s’intéresse aux ondes, de pulsation v, se propageant dans la direction x
x et telles que
E x = 0 (ondes transversales électriques). De plus, nous nous limiterons uniquement à
l’étude de la composante E z (on pose E y = 0).
Les conditions aux limites imposent que
− →
E , sur une paroi conductrice, est soit nul soit
normal à cette paroi.
1. Montrer que le vecteur
− →
E de composantes :
E x = 0 , E y = 0
et E z = E 0 cos(npy/a) cos(vt − k
n x) , avec n entier impair
(58)
ou E z = E 0 sin(npy/a) cos(vt − k
n x) , avec n pair
(59)
satisfait à ces conditions aux limites.
On parlera, alors, de mode transversal-électrique TE n0 . Dans ce qui suit, on va s’intéresser
au mode TE 10 .
2. En utilisant les équations (57), (58) et (59), déterminer k
1 en fonction de v, c et a.
Montrer que seules les ondes de pulsation v supérieure à une certaine valeur v c1 peuvent se
propager selon le mode TE 10 . Déterminer v c1 (pulsation de coupure du mode considéré).
Calculer la vitesse de phase v f et la vitesse de groupe v g . Quelle relation y a-t-il entre v f ,
v g et c ?
Tracer, sur un même graphique, les courbes représentant les variations de v f et de v g en
fonction de v.
3. Comment faut-il choisir la dimension a du guide afin que, v étant fixée, seul le mode
TE 10 se propage à l’exclusion de tous les autres modes TE n0 avec n 2 ?
Exercice 9
Vitesse de phase. Vitesse de groupe
Ces notions sont abordées, ici, en prenant l’exemple des ondes électromagnétiques. Toutefois, les conclusions de l’exercice ont un caractère tout à fait général.
Une onde électromagnétique plane, polarisée rectilignement, est quasi-monochromatique. Son spectre est centré en v 0 avec un étalement Dv. On considère Dv v 0 .
Cette onde se propage suivant l’axe Ox dans un milieu linéaire, homogène, isotrope,
dispersif mais non absorbant. La relation de dispersion est v = v(k) avec v 0 = v(k 0 ).
On peut décrire cette onde comme la superposition d’ondes planes monochromatiques de
même amplitude, de vecteurs d’onde de normes comprises entre (k 0 −Dk/2) et (k 0 1Dk/2)
avec Dk k 0 . On suppose, de plus, ces ondes en phase à t = 0.
1. Exprimer, en notation complexe, le champ électrique de l’onde résultante. À l’aide
d’un développement limité de la relation de dispersion autour de k = k 0 , exprimer v en
fonction de k 0 , de k
= k − k 0 , de v f et de v g .
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