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L’ensemble est caractérisé par les grandeurs suivantes :
– r : résistance par unité de longueur ;
– L : inductance par unité de longueur ;
– C : capacité par unité de longueur ;
– g : conductance à travers l’isolant par unité de longueur (le courant de fuite pour une
portion de longueur dx est : i f (x, t) = g.dx.u(x, t)).
Une ligne sans pertes sera caractérisée par : r = g = 0.
1. En appliquant la loi d’Ohm à un instant t entre A et B, montrer que l’on a la relation :
−
≠u
≠x
= ri 1 L
≠i
≠t
(52)
En utilisant la loi des condensateurs ainsi que la loi des nœuds, montrer que :
−
≠i
≠x
= gu 1 C
≠u
≠t
(53)
Éliminer i entre les deux équations précédentes. En déduire l’équation différentielle
satisfaite par u.
Dans toute la suite, on considèrera une ligne sans pertes.
Montrer que, dans ce cas, on a :
L C
≠
2 u
≠t 2 =
≠
2 u
≠x 2
(54)
2. Le générateur G qui alimente la ligne étant un générateur de tension sinusoïdale,
vérifier que les solutions de l’équation (54) peuvent être mises sous la forme :
i = i 0 e
i(vt−kx) 1 i 1 e
i(vt1kx)
(55)
u = ri 0 e
i(vt−kx)
− ri 1 e
i(vt1kx)
(56)
Calculer r ainsi que la vitesse de propagation V des signaux dans la ligne. Donner une
interprétation physique des deux termes apparaissant dans chacune des relations (55) et
(56).
3. L’extrémité de la ligne de longueur D est fermée sur une impédance complexe Z.
X'
X
D
G
Z
0
Calculer i(x, t) et u(x, t) en fonction de i 0 ,
r, Z, v, k et D.
Calculer Z(x) (impédance « ramenée en
x ») : Z(x) = u(x, t)/i(x, t).
Donner les expressions de Z(x) dans les
trois cas suivants :
– Z = ∞ (ligne ouverte en D) ;
– Z = 0 (ligne court-circuitée en D) ;
– Z purement imaginaire (Z = iY ) (ligne fermée sur une impédance purement réactive).
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