i
i
i
i
i
i
i
i
1. Une onde électromagnétique se propage dans un milieu isolant, homogène et isotrope.
Donner l’expression de la force qui s’exerce sur un électron de charge −e et de vitesse − → v .
Montrer que le terme dû au champ magnétique est négligeable vis-à-vis de celui dû au
champ électrique. Dans la suite, on considèrera que la force se réduit au seul terme dû au
champ électrique.
2. On considère un plasma, gaz sous faible pression et totalement ionisé ; les actions sur
une particule dues aux autres particules s’annulent en moyenne, de sorte qu’un électron
peut être considéré comme libre ; il n’y a aucune force de frottement ou d’amortissement.
a. Écrire l’équation différentielle du mouvement d’un électron (masse m e ) dans un champ
électrique
− →
E =
− →
E 0 cos vt ; la position de l’électron sera définie par son déplacement r .
b. Intégrer et donner l’expression de r en fonction du temps.
c. Sachant qu’il y a N électrons libres par unité de volume, donner l’expression du vecteur
polarisation
− →
P . En déduire l’expression de l’indice n en fonction de la pulsation v de
l’onde. On posera :
v
2
P =
N e
2
m e e 0
d. Étudier les variations de n avec v. Envisager les cas où v > v P et donner la signification
de v P ou de n P = v P /2p.
Connaît-on un milieu naturel dans lequel la propagation des ondes électromagnétiques
donne lieu aux phénomènes étudiés ici ?
Application Numérique : calculer le nombre N d’électrons libres par mètre cube dans un
plasma pour lequel n P = 20 MHz. Préciser les longueurs d’onde des ondes pouvant se
propager dans ce milieu.
3. On considère maintenant un gaz formé de molécules non polaires. On admet que tout
se passe comme si certains électrons avaient une position d’équilibre et étaient rappelés
vers elle par une force :
f = −m e v
2
0 r
On néglige tout frottement ou amortissement.
a. Écrire l’équation différentielle du mouvement d’un tel électron sous l’action d’un champ
électrique
− →
E =
− →
E 0 cos vt.
b. Considérer la solution correspondant aux oscillations forcées et donner l’expression de
r en fonction du temps t.
c. En admettant que le milieu contient N électrons par unité de volume vibrant ainsi,
calculer le vecteur polarisation
− →
P et en déduire l’indice n.
d. Tracer la courbe représentant les variations de n
2 avec la pulsation v. Discuter les
résultats suivant les différentes valeurs de v.
e. On considère le cas v ≈ v 0 ; quelle force supplémentaire faut-il prendre en compte si
l’on veut que le modèle reste « réaliste » ?
f. Comment varie, expérimentalement, l’indice n avec la fréquence de l’onde ? Que savezvous de l’indice d’un cristal pour les rayons X ?
408
i
i
i
i
i
i
i
1. Une onde électromagnétique se propage dans un milieu isolant, homogène et isotrope.
Donner l’expression de la force qui s’exerce sur un électron de charge −e et de vitesse − → v .
Montrer que le terme dû au champ magnétique est négligeable vis-à-vis de celui dû au
champ électrique. Dans la suite, on considèrera que la force se réduit au seul terme dû au
champ électrique.
2. On considère un plasma, gaz sous faible pression et totalement ionisé ; les actions sur
une particule dues aux autres particules s’annulent en moyenne, de sorte qu’un électron
peut être considéré comme libre ; il n’y a aucune force de frottement ou d’amortissement.
a. Écrire l’équation différentielle du mouvement d’un électron (masse m e ) dans un champ
électrique
− →
E =
− →
E 0 cos vt ; la position de l’électron sera définie par son déplacement r .
b. Intégrer et donner l’expression de r en fonction du temps.
c. Sachant qu’il y a N électrons libres par unité de volume, donner l’expression du vecteur
polarisation
− →
P . En déduire l’expression de l’indice n en fonction de la pulsation v de
l’onde. On posera :
v
2
P =
N e
2
m e e 0
d. Étudier les variations de n avec v. Envisager les cas où v > v P et donner la signification
de v P ou de n P = v P /2p.
Connaît-on un milieu naturel dans lequel la propagation des ondes électromagnétiques
donne lieu aux phénomènes étudiés ici ?
Application Numérique : calculer le nombre N d’électrons libres par mètre cube dans un
plasma pour lequel n P = 20 MHz. Préciser les longueurs d’onde des ondes pouvant se
propager dans ce milieu.
3. On considère maintenant un gaz formé de molécules non polaires. On admet que tout
se passe comme si certains électrons avaient une position d’équilibre et étaient rappelés
vers elle par une force :
f = −m e v
2
0 r
On néglige tout frottement ou amortissement.
a. Écrire l’équation différentielle du mouvement d’un tel électron sous l’action d’un champ
électrique
− →
E =
− →
E 0 cos vt.
b. Considérer la solution correspondant aux oscillations forcées et donner l’expression de
r en fonction du temps t.
c. En admettant que le milieu contient N électrons par unité de volume vibrant ainsi,
calculer le vecteur polarisation
− →
P et en déduire l’indice n.
d. Tracer la courbe représentant les variations de n
2 avec la pulsation v. Discuter les
résultats suivant les différentes valeurs de v.
e. On considère le cas v ≈ v 0 ; quelle force supplémentaire faut-il prendre en compte si
l’on veut que le modèle reste « réaliste » ?
f. Comment varie, expérimentalement, l’indice n avec la fréquence de l’onde ? Que savezvous de l’indice d’un cristal pour les rayons X ?
408