i
i
i
i
i
i
i
i
Exercice 3
Interférences. Énergie
Soient deux ondes électromagnétiques Ond 1 et Ond 2 , planes, polarisées rectilignement, se propageant dans le vide, dans deux directions Ou 1 et Ou 2 du plan xOy
((
Ox, Ou 1 ) = −(
Ox, Ou 2 ) = u).
En un point r quelconque, les composantes non nulles des champs électriques
− →
E 1 ( r , t)
et
− →
E 2 ( r , t) de ces deux ondes sont données, respectivement, par :
E 1z = E 0 . cos(vt − k 1 . r ) pour Ond 1
(50)
E 2z = E 0 . cos(vt − k 2 . r ) pour Ond 2
(51)
On désignera par k le module commun des vecteurs k 1 et k 2 et l’on posera k cos(u) = a
et k sin(u) = b.
1. Déterminer les composantes de k 1 et
− →
B 1 (champ magnétique de l’onde Ond 1 ) ainsi
que les composantes de k 2 et
− →
B 2 (onde Ond 2 ).
2.a. Calculer les composantes du champ électrique
− →
E ( r , t) résultant de la superposition
de ces deux ondes. Calculer la moyenne dans le temps du carré du module de
− →
E . On
notera E
2
cette moyenne. Quelles sont les surfaces E
2
= constante ?
2.b. On suppose que la fréquence des ondes se trouve dans le domaine visible. L’œil étant
sensible à E
2
, montrer que l’on peut observer des franges d’interférences dans un plan
perpendiculaire à Ox. Calculer dans ces conditions l’interfrange i en fonction de u et l.
2.c. Calculer la vitesse de phase V f . Commenter ?
3. Calculer les composantes de
− →
B ( r , t), champ magnétique de l’onde résultante. Discuter
la polarisation de ce vecteur.
4.a. Calculer les composantes du vecteur de Poynting
− →
P ( r , t).
4.b. Étudier le transfert d’énergie à travers une portion d’un plan perpendiculaire à Oz,
puis d’un plan perpendiculaire à Oy.
4.c. Calculer la puissance moyenne W qui traverse un domaine d’aire S, dont les
dimensions sont grandes devant l’interfrange i, et qui est situé dans un plan perpendiculaire à Ox.
4.d. Calculer la valeur moyenne, dans le temps et dans l’espace, de la densité d’énergie.
Calculer la vitesse de propagation V E de l’énergie. Quelle relation y a-t-il entre V E et V f ?
Exercice 4
Réflexion. Réfraction. Formules de Fresnel
Cet exercice, plus délicat, peut être sauté en première lecture.
On considère deux milieux diélectriques parfaits, isotropes, homogènes et indéfinis de
constantes diélectriques e 1 et e 2 , de perméabilités magnétiques égales à m 0 , séparés par
une surface S (le plan xOy) non chargée.
5. ONDES
405
i
i
i
i
i
i
i
Exercice 3
Interférences. Énergie
Soient deux ondes électromagnétiques Ond 1 et Ond 2 , planes, polarisées rectilignement, se propageant dans le vide, dans deux directions Ou 1 et Ou 2 du plan xOy
((
Ox, Ou 1 ) = −(
Ox, Ou 2 ) = u).
En un point r quelconque, les composantes non nulles des champs électriques
− →
E 1 ( r , t)
et
− →
E 2 ( r , t) de ces deux ondes sont données, respectivement, par :
E 1z = E 0 . cos(vt − k 1 . r ) pour Ond 1
(50)
E 2z = E 0 . cos(vt − k 2 . r ) pour Ond 2
(51)
On désignera par k le module commun des vecteurs k 1 et k 2 et l’on posera k cos(u) = a
et k sin(u) = b.
1. Déterminer les composantes de k 1 et
− →
B 1 (champ magnétique de l’onde Ond 1 ) ainsi
que les composantes de k 2 et
− →
B 2 (onde Ond 2 ).
2.a. Calculer les composantes du champ électrique
− →
E ( r , t) résultant de la superposition
de ces deux ondes. Calculer la moyenne dans le temps du carré du module de
− →
E . On
notera E
2
cette moyenne. Quelles sont les surfaces E
2
= constante ?
2.b. On suppose que la fréquence des ondes se trouve dans le domaine visible. L’œil étant
sensible à E
2
, montrer que l’on peut observer des franges d’interférences dans un plan
perpendiculaire à Ox. Calculer dans ces conditions l’interfrange i en fonction de u et l.
2.c. Calculer la vitesse de phase V f . Commenter ?
3. Calculer les composantes de
− →
B ( r , t), champ magnétique de l’onde résultante. Discuter
la polarisation de ce vecteur.
4.a. Calculer les composantes du vecteur de Poynting
− →
P ( r , t).
4.b. Étudier le transfert d’énergie à travers une portion d’un plan perpendiculaire à Oz,
puis d’un plan perpendiculaire à Oy.
4.c. Calculer la puissance moyenne W qui traverse un domaine d’aire S, dont les
dimensions sont grandes devant l’interfrange i, et qui est situé dans un plan perpendiculaire à Ox.
4.d. Calculer la valeur moyenne, dans le temps et dans l’espace, de la densité d’énergie.
Calculer la vitesse de propagation V E de l’énergie. Quelle relation y a-t-il entre V E et V f ?
Exercice 4
Réflexion. Réfraction. Formules de Fresnel
Cet exercice, plus délicat, peut être sauté en première lecture.
On considère deux milieux diélectriques parfaits, isotropes, homogènes et indéfinis de
constantes diélectriques e 1 et e 2 , de perméabilités magnétiques égales à m 0 , séparés par
une surface S (le plan xOy) non chargée.
5. ONDES
405