i
i
i
i
i
i
i
i
ÉNONCÉS
Exercice 1
Onde électromagnétique plane
On considère le vide en l’absence de toute charge et de tout courant.
1. Écrire les équations aux dérivées partielles auxquelles obéissent les vecteurs champs
électrique
− →
E et magnétique
− →
B .
2. On s’intéresse aux vecteurs
− →
E et
− →
B ne dépendant spatialement que de la coordonnée
z, c’est-à-dire aux ondes planes.
2.a. Écrire l’équation aux dérivées partielles à laquelle obéit
− →
E . La solution de cette équation est la somme de deux termes ; montrer qu’ils correspondent à deux ondes progressives
se propageant en sens contraires. Calculer la vitesse c de propagation de ces ondes.
2.b. On considère une de ces ondes progressives. Montrer qu’elle est transversale, que
− →
E
et
− →
B sont orthogonaux et que le trièdre (
− →
E ,
− →
B , c ) est direct ( c est le vecteur vitesse de
l’onde).
2.c. On suppose
− →
E de la forme :
− →
E =
− →
E 0 . cos
v
c
(z − ct)
(
− →
E 0 étant dirigé suivant l’axe Ox). Montrer que
− →
B s’écrit :
− →
B =
− →
B 0 . cos
v
c
(z − ct)
(
− →
B 0 étant dirigé suivant l’axe Oy). Quelle relation y a-t-il entre e 0 , m 0 , E 0 et B 0 ? Calculer
B 0 et l pour E 0 = 10
2 V.m
−1 et une fréquence f = 10
10 Hz.
Exercice 2
Onde électromagnétique plane. Énergie
Une onde électromagnétique plane, sinusoïdale, polarisée rectilignement (
− →
E est parallèle
à Oz) se propage dans le vide, dans la direction Ou du plan xOy (
(Ox, Ou) = a). Les
variations de E z au point O sont représentées par : E z = E 0 cos(vt).
1. Écrire les composantes du vecteur d’onde k et des vecteurs champ électrique
− →
E ( r , t)
et magnétique
− →
B ( r , t) en un point r quelconque à l’instant t.
Soit Z 0 l’impédance itérative du vide : Z 0 = m 0 E/B. Exprimer Z 0 en fonction de m 0 et
e 0 . Calculer numériquement Z 0 .
2. Calculer la densité volumique d’énergie électromagnétique dW ( r , t)/dv ainsi que sa
valeur moyenne au cours du temps dW /dv.
3. Calculer les composantes du vecteur de Poynting
− →
P ( r , t) puis son module P( r , t) ainsi
que la valeur moyenne P de celui-ci au cours du temps. Comparer P et dW /dv.
Interprétation physique.
404
i
i
i
i
i
i
i
ÉNONCÉS
Exercice 1
Onde électromagnétique plane
On considère le vide en l’absence de toute charge et de tout courant.
1. Écrire les équations aux dérivées partielles auxquelles obéissent les vecteurs champs
électrique
− →
E et magnétique
− →
B .
2. On s’intéresse aux vecteurs
− →
E et
− →
B ne dépendant spatialement que de la coordonnée
z, c’est-à-dire aux ondes planes.
2.a. Écrire l’équation aux dérivées partielles à laquelle obéit
− →
E . La solution de cette équation est la somme de deux termes ; montrer qu’ils correspondent à deux ondes progressives
se propageant en sens contraires. Calculer la vitesse c de propagation de ces ondes.
2.b. On considère une de ces ondes progressives. Montrer qu’elle est transversale, que
− →
E
et
− →
B sont orthogonaux et que le trièdre (
− →
E ,
− →
B , c ) est direct ( c est le vecteur vitesse de
l’onde).
2.c. On suppose
− →
E de la forme :
− →
E =
− →
E 0 . cos
v
c
(z − ct)
(
− →
E 0 étant dirigé suivant l’axe Ox). Montrer que
− →
B s’écrit :
− →
B =
− →
B 0 . cos
v
c
(z − ct)
(
− →
B 0 étant dirigé suivant l’axe Oy). Quelle relation y a-t-il entre e 0 , m 0 , E 0 et B 0 ? Calculer
B 0 et l pour E 0 = 10
2 V.m
−1 et une fréquence f = 10
10 Hz.
Exercice 2
Onde électromagnétique plane. Énergie
Une onde électromagnétique plane, sinusoïdale, polarisée rectilignement (
− →
E est parallèle
à Oz) se propage dans le vide, dans la direction Ou du plan xOy (
(Ox, Ou) = a). Les
variations de E z au point O sont représentées par : E z = E 0 cos(vt).
1. Écrire les composantes du vecteur d’onde k et des vecteurs champ électrique
− →
E ( r , t)
et magnétique
− →
B ( r , t) en un point r quelconque à l’instant t.
Soit Z 0 l’impédance itérative du vide : Z 0 = m 0 E/B. Exprimer Z 0 en fonction de m 0 et
e 0 . Calculer numériquement Z 0 .
2. Calculer la densité volumique d’énergie électromagnétique dW ( r , t)/dv ainsi que sa
valeur moyenne au cours du temps dW /dv.
3. Calculer les composantes du vecteur de Poynting
− →
P ( r , t) puis son module P( r , t) ainsi
que la valeur moyenne P de celui-ci au cours du temps. Comparer P et dW /dv.
Interprétation physique.
404