i
i
i
i
i
i
i
i
dépasser pour rester en mouvement circulaire uniforme sur le cercle de rayon L. Comparer
au résultat de la question 2. Commenter.
Exercice 4
Point matériel sur une sphère
r
x
z
M
M 0
Il s’agit d’étudier un cas où la relation fondamentale de la
dynamique ne s’intègre pas directement, (on aura intérêt
à travailler dans le repère de Frenet) et où son utilisation
conjointe avec le théorème de l’énergie cinétique permet
d’aller plus loin dans la résolution.
Un point matériel de masse m est mobile sans frottements
sur une demi-sphère de rayon r dont la base est horizontale. À un instant t = 0, il est lâché sans vitesse initiale
d’un point M o repéré par l’angle u 0 =
(Oz,
−−→
OM 0 ).
1. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique et le principe fondamental de la
dynamique, calculer la valeur de la réaction
− →
R du support sphérique en fonction de
u =
(Oz,
− − →
OM) où M est la position du point matériel à l’instant t.
2. Comment varie R en fonction de u ? Pour quelle valeur u d de u le point M quitte-t-il
la sphère ? Quelle est alors la vitesse de décollage ?
Mécanique du point : forces d’inertie
Exercice 5
Référentiel en rotation uniforme : manège
z
Z
y
Y
x
X
A
O
I
Cet exercice très simple permet de comprendre la structure des forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis
dans le cas où le référentiel entraîné est en rotation.
Le référentiel R, muni du repère absolu OXYZ est galiléen ; un plateau de rayon r tourne à vitesse angulaire
V constante autour de l’axe (vertical) OZ. On désigne
par R e le référentiel entraîné lié au plateau ; il est muni
d’un repère absolu Oxyz. Un point matériel M de masse
m, assujetti à se déplacer sur un segment de droite OA lié au plateau est animé d’un
mouvement sinusoïdal de pulsation v 0 , d’amplitude r/2, centré en I milieu de OA (on le
suppose en I à t = 0, de vitesse dirigée vers A ). Écrire les expressions des forces d’inertie
d’entraînement
− →
f ie et de Coriolis
− →
f ic subies par M dans le référentiel lié au plateau en
fonction de V, m, v 0 , r et du temps. Indiquer soigneusement la direction et le sens de ces
forces lorsque M va de O vers A, puis l’inverse.
Étudier la valeur de ces forces en fonction du temps, pour t ∈
0,
2p
v 0
en les comparant
à la vitesse et aux coordonnées de M dans le référentiel entraîné R e .
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dépasser pour rester en mouvement circulaire uniforme sur le cercle de rayon L. Comparer
au résultat de la question 2. Commenter.
Exercice 4
Point matériel sur une sphère
r
x
z
M
M 0
Il s’agit d’étudier un cas où la relation fondamentale de la
dynamique ne s’intègre pas directement, (on aura intérêt
à travailler dans le repère de Frenet) et où son utilisation
conjointe avec le théorème de l’énergie cinétique permet
d’aller plus loin dans la résolution.
Un point matériel de masse m est mobile sans frottements
sur une demi-sphère de rayon r dont la base est horizontale. À un instant t = 0, il est lâché sans vitesse initiale
d’un point M o repéré par l’angle u 0 =
(Oz,
−−→
OM 0 ).
1. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique et le principe fondamental de la
dynamique, calculer la valeur de la réaction
− →
R du support sphérique en fonction de
u =
(Oz,
− − →
OM) où M est la position du point matériel à l’instant t.
2. Comment varie R en fonction de u ? Pour quelle valeur u d de u le point M quitte-t-il
la sphère ? Quelle est alors la vitesse de décollage ?
Mécanique du point : forces d’inertie
Exercice 5
Référentiel en rotation uniforme : manège
z
Z
y
Y
x
X
A
O
I
Cet exercice très simple permet de comprendre la structure des forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis
dans le cas où le référentiel entraîné est en rotation.
Le référentiel R, muni du repère absolu OXYZ est galiléen ; un plateau de rayon r tourne à vitesse angulaire
V constante autour de l’axe (vertical) OZ. On désigne
par R e le référentiel entraîné lié au plateau ; il est muni
d’un repère absolu Oxyz. Un point matériel M de masse
m, assujetti à se déplacer sur un segment de droite OA lié au plateau est animé d’un
mouvement sinusoïdal de pulsation v 0 , d’amplitude r/2, centré en I milieu de OA (on le
suppose en I à t = 0, de vitesse dirigée vers A ). Écrire les expressions des forces d’inertie
d’entraînement
− →
f ie et de Coriolis
− →
f ic subies par M dans le référentiel lié au plateau en
fonction de V, m, v 0 , r et du temps. Indiquer soigneusement la direction et le sens de ces
forces lorsque M va de O vers A, puis l’inverse.
Étudier la valeur de ces forces en fonction du temps, pour t ∈
0,
2p
v 0
en les comparant
à la vitesse et aux coordonnées de M dans le référentiel entraîné R e .
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