i
i
i
i
i
i
i
i
Cette dernière équation est une nouvelle équation d’ondes qui n’est pas de type d’Alembert
mais qui reste néanmoins linéaire. En régime sinusoïdal, on a :
− →
E ∼ e
ivt
,
≠
− →
E
≠t
= i v
− →
E ,
≠
2 − →
E
≠t 2 = −v
2 − →
E
(30) s’écrit donc :
D
− →
E = i g v m 0
− →
E − e 0 m 0 v
2 − →
E
(31)
soit
D
− →
E = − e
m 0 v
2 − →
E
avec
e
= e 0 − i
g
v
Par comparaison avec le vide (e
vide = e 0 ), on voit que le métal a une constante diélectrique
complexe : c’est un milieu absorbant. Dans le domaine de basses fréquences considéré,
on a :
g ve 0
(32)
On peut négliger le dernier terme de l’éq.(31), ce qui conduit à :
D
− →
E = i g v m 0
− →
E
Pour une onde plane polarisée suivant Ox et se propageant dans le sens z
z, on aura :
≠
2 E x
≠z 2 = i g v m 0 E x = n
2 E x
d’où
E x =
A.e
−nz 1 B.e
1nz
e
ivt
avec
n =
(igvm 0 ) =
1 1 i
√
2
.
(gvm 0 )
Le terme en B.e
1nz est à écarter car il correspond à une onde d’amplitude croissant
indéfiniment lors de sa propagation. Finalement :
E x = A e
−z/d e
i(vt−z/d)
(34)
avec
d =
2
gvm 0
(35)
Ainsi, l’onde ne pourra pas se propager dans la « masse » du conducteur : elle s’éteindra
sur une distance de l’ordre de d. d est appelée épaisseur de peau.
Conséquence : on voit que plus v est grand (tout en satisfaisant à (32)), plus d est faible.
Ainsi, un courant de fréquence suffisamment élevée circulera à la surface des conducteurs
(effet de peau). Dans ces conditions, on peut supprimer le « cœur » du conducteur et
ne garder que l’« enveloppe ». De plus, pour minimiser les pertes par rayonnement, on
utilise des câbles coaxiaux formés de deux conducteurs cylindriques en influence totale et
parcourus par des courants rigoureusement égaux et de sens opposés.
396
i
i
i
i
i
i
i
Cette dernière équation est une nouvelle équation d’ondes qui n’est pas de type d’Alembert
mais qui reste néanmoins linéaire. En régime sinusoïdal, on a :
− →
E ∼ e
ivt
,
≠
− →
E
≠t
= i v
− →
E ,
≠
2 − →
E
≠t 2 = −v
2 − →
E
(30) s’écrit donc :
D
− →
E = i g v m 0
− →
E − e 0 m 0 v
2 − →
E
(31)
soit
D
− →
E = − e
m 0 v
2 − →
E
avec
e
= e 0 − i
g
v
Par comparaison avec le vide (e
vide = e 0 ), on voit que le métal a une constante diélectrique
complexe : c’est un milieu absorbant. Dans le domaine de basses fréquences considéré,
on a :
g ve 0
(32)
On peut négliger le dernier terme de l’éq.(31), ce qui conduit à :
D
− →
E = i g v m 0
− →
E
Pour une onde plane polarisée suivant Ox et se propageant dans le sens z
z, on aura :
≠
2 E x
≠z 2 = i g v m 0 E x = n
2 E x
d’où
E x =
A.e
−nz 1 B.e
1nz
e
ivt
avec
n =
(igvm 0 ) =
1 1 i
√
2
.
(gvm 0 )
Le terme en B.e
1nz est à écarter car il correspond à une onde d’amplitude croissant
indéfiniment lors de sa propagation. Finalement :
E x = A e
−z/d e
i(vt−z/d)
(34)
avec
d =
2
gvm 0
(35)
Ainsi, l’onde ne pourra pas se propager dans la « masse » du conducteur : elle s’éteindra
sur une distance de l’ordre de d. d est appelée épaisseur de peau.
Conséquence : on voit que plus v est grand (tout en satisfaisant à (32)), plus d est faible.
Ainsi, un courant de fréquence suffisamment élevée circulera à la surface des conducteurs
(effet de peau). Dans ces conditions, on peut supprimer le « cœur » du conducteur et
ne garder que l’« enveloppe ». De plus, pour minimiser les pertes par rayonnement, on
utilise des câbles coaxiaux formés de deux conducteurs cylindriques en influence totale et
parcourus par des courants rigoureusement égaux et de sens opposés.
396