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Si l’on envisage, maintenant, une réflexion totale en x = L, on aura :
p(x, t) = Re
a.e
i(vt− k . x ) 1 a.e
iu .e
i(vt1 k . x )
= 2a. cos(vt 1 u/2). cos(kx 1 u/2)
(u est le déphasage qui prend en compte les conditions aux limites en x = L). p(x, t)
représente alors une onde stationnaire (on n’a pas de propagation car pas de terme en
t ± x/V ).
Dans le cas où l’on a réflexion totale à la fois en x = 0 et x = L, le régime stationnaire
(résonant) ne pourra s’établir que pour certaines valeurs de v (pulsations propres ou
pulsations de résonance). Les fréquences admissibles sont donc quantifiées.
1.3. Dispersion
Dans un milieu dispersif, V dépend de v si bien qu’une onde non monochromatique se
déforme lors de sa propagation. Cela se traduira mathématiquement par le fait que v
n’est pas proportionnel à k. La fonction v(k) est appelée relation de dispersion.
On distinguera alors les vitesses :
Vitesse de phase : V f =
v
k
(4)
Vitesse de groupe : V g =
dv
dk
(5)
V g (vitesse de groupe) représente, en général, la vitesse de propagation de l’énergie.
V g ne peut pas dépasser la vitesse de la lumière. Dans un milieu non dispersif, v est
proportionnel à k ce qui implique V f = V g .
Concernant les ondes lumineuses, la dispersion se traduit par le fait que l’indice n dépend
de l. La vitesse de phase est V f = c/n (c est la vitesse de la lumière dans le vide).
Enfin, dans certains cas, on rencontrera la relation :
V g .V f = constante = (V 0 )
2
(6)
Le lecteur est invité, en utilisant les définitions (4) et (5), à chercher quelle est la relation
de dispersion qui conduit à (6).
2. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE
2.1. Équations de Maxwell dans le vide
L’espace considéré est caractérisé par les constantes e 0 (permittivité diélectrique du vide)
et m 0 (perméabilité magnétique du vide). Il comporte des densités volumiques de charge
r( r , t) et de courant
− →
j ( r , t).
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Si l’on envisage, maintenant, une réflexion totale en x = L, on aura :
p(x, t) = Re
a.e
i(vt− k . x ) 1 a.e
iu .e
i(vt1 k . x )
= 2a. cos(vt 1 u/2). cos(kx 1 u/2)
(u est le déphasage qui prend en compte les conditions aux limites en x = L). p(x, t)
représente alors une onde stationnaire (on n’a pas de propagation car pas de terme en
t ± x/V ).
Dans le cas où l’on a réflexion totale à la fois en x = 0 et x = L, le régime stationnaire
(résonant) ne pourra s’établir que pour certaines valeurs de v (pulsations propres ou
pulsations de résonance). Les fréquences admissibles sont donc quantifiées.
1.3. Dispersion
Dans un milieu dispersif, V dépend de v si bien qu’une onde non monochromatique se
déforme lors de sa propagation. Cela se traduira mathématiquement par le fait que v
n’est pas proportionnel à k. La fonction v(k) est appelée relation de dispersion.
On distinguera alors les vitesses :
Vitesse de phase : V f =
v
k
(4)
Vitesse de groupe : V g =
dv
dk
(5)
V g (vitesse de groupe) représente, en général, la vitesse de propagation de l’énergie.
V g ne peut pas dépasser la vitesse de la lumière. Dans un milieu non dispersif, v est
proportionnel à k ce qui implique V f = V g .
Concernant les ondes lumineuses, la dispersion se traduit par le fait que l’indice n dépend
de l. La vitesse de phase est V f = c/n (c est la vitesse de la lumière dans le vide).
Enfin, dans certains cas, on rencontrera la relation :
V g .V f = constante = (V 0 )
2
(6)
Le lecteur est invité, en utilisant les définitions (4) et (5), à chercher quelle est la relation
de dispersion qui conduit à (6).
2. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE
2.1. Équations de Maxwell dans le vide
L’espace considéré est caractérisé par les constantes e 0 (permittivité diélectrique du vide)
et m 0 (perméabilité magnétique du vide). Il comporte des densités volumiques de charge
r( r , t) et de courant
− →
j ( r , t).
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