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i
On montre que le changement de variable u = t − x/V , v = t 1 x/V conduit à
l’équation :
≠
2 p
≠u ≠v
= 0
de solution générale :
p(u, v) = f (u) 1 g(v)
soit
p(x, t) = f (t − x/V ) 1 g(t 1 x/V )
Chaque terme, f ou g, représente une onde progressive qui se propage, sans se déformer,
à la célérité V , respectivement dans le sens des x croissants ou décroissants. Le point
d’abscisse x reproduit le mouvement de O avec le retard x/V , temps qu’il faut à l’onde
pour se propager de O en x. Les fonctions f et g sont déterminées par les conditions aux
limites (sources, réflexions éventuelles,...)
Soit une source émettant en x = 0 un signal sinusoïdal qui se propage dans le sens des
x croissants. En l’absence de réflexion, on aura g = 0 et l’on pourra écrire :
p(x, t) = Re(a.e
iv(t−x/V ) )
(3)
= Re(a.e
i(vt−k x) ) = Re(a.e
i(vt− k . x ) )
k est le vecteur d’onde, normal aux plans d’onde (x = constante), et dirigé, ici, dans le
sens des x croissants. Son module est :
k =
v
V
=
2p
l
avec
l = V .T ; l, longueur d’onde, est la distance parcourue par l’onde pendant
une période de vibration.
La relation k = v/V , avec V constante, exprime que k est proportionnel à v. Elle est
caractéristique d’un milieu non dispersif.
Remarques :
– Re (partie réelle de...) sera parfois sous-entendu. Attention, toutefois, quand on
s’occupe d’énergie ou de puissance. Il faut, alors, instamment revenir aux grandeurs
réelles.
– Dans l’éq. (3), la constante a devant l’exponentielle (l’amplitude complexe) peut être
prise réelle avec un choix convenable des origines (de temps et d’espace).
Cependant, il faut remarquer que si l’on considère simultanément plusieurs ondes,
celles-ci peuvent être déphasées entre elles. On ne pourra pas, a priori, considérer
comme réelles toutes les amplitudes. Voir l’équation ci-dessous. (Si a est réelle, a.e
iu
ne l’est pas en général).
– Dans le cas d’une onde plane sinusoïdale se propageant dans une direction quelconque
k , (3) s’écrira :
p( r , t) = Re
a.e
i(vt− k . r )
5. ONDES
385
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On montre que le changement de variable u = t − x/V , v = t 1 x/V conduit à
l’équation :
≠
2 p
≠u ≠v
= 0
de solution générale :
p(u, v) = f (u) 1 g(v)
soit
p(x, t) = f (t − x/V ) 1 g(t 1 x/V )
Chaque terme, f ou g, représente une onde progressive qui se propage, sans se déformer,
à la célérité V , respectivement dans le sens des x croissants ou décroissants. Le point
d’abscisse x reproduit le mouvement de O avec le retard x/V , temps qu’il faut à l’onde
pour se propager de O en x. Les fonctions f et g sont déterminées par les conditions aux
limites (sources, réflexions éventuelles,...)
Soit une source émettant en x = 0 un signal sinusoïdal qui se propage dans le sens des
x croissants. En l’absence de réflexion, on aura g = 0 et l’on pourra écrire :
p(x, t) = Re(a.e
iv(t−x/V ) )
(3)
= Re(a.e
i(vt−k x) ) = Re(a.e
i(vt− k . x ) )
k est le vecteur d’onde, normal aux plans d’onde (x = constante), et dirigé, ici, dans le
sens des x croissants. Son module est :
k =
v
V
=
2p
l
avec
l = V .T ; l, longueur d’onde, est la distance parcourue par l’onde pendant
une période de vibration.
La relation k = v/V , avec V constante, exprime que k est proportionnel à v. Elle est
caractéristique d’un milieu non dispersif.
Remarques :
– Re (partie réelle de...) sera parfois sous-entendu. Attention, toutefois, quand on
s’occupe d’énergie ou de puissance. Il faut, alors, instamment revenir aux grandeurs
réelles.
– Dans l’éq. (3), la constante a devant l’exponentielle (l’amplitude complexe) peut être
prise réelle avec un choix convenable des origines (de temps et d’espace).
Cependant, il faut remarquer que si l’on considère simultanément plusieurs ondes,
celles-ci peuvent être déphasées entre elles. On ne pourra pas, a priori, considérer
comme réelles toutes les amplitudes. Voir l’équation ci-dessous. (Si a est réelle, a.e
iu
ne l’est pas en général).
– Dans le cas d’une onde plane sinusoïdale se propageant dans une direction quelconque
k , (3) s’écrira :
p( r , t) = Re
a.e
i(vt− k . r )
5. ONDES
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