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3.b. Donner l’expression de la vitesse en fonction de V l , t et du temps si on lâche le wagon
de O à t = 0 avec une vitesse nulle. En cherchant les équivalents adéquats, préciser quel
est le mouvement du wagon dans les cas limites où t t et t t.
3.c. À t = 0, le wagon est lâché avec une vitesse initiale V 0 non nulle ; donner l’expression
de la vitesse en fonction de V l , V 0 , t et du temps. Tracer sur un même graphe l’évolution
de V en fonction du temps pour ce cas et celui du 3.b. Comment peut-on déterminer t ?
4. Frottements solide et fluide. Le wagon est soumis à la fois à un frottement solide
de coefficient f et à une force de frottement fluide
− →
F = −k ·
− →
V . La condition du 2.a
étant vérifiée, écrire l’équation différentielle de son mouvement. (on suppose V > 0).
Donner l’expression de la nouvelle vitesse limite V
l du wagon en fonction de f , g, t, a.
Commenter.
Exercice 2
Chute d’un anneau sur une hélice d’axe vertical
y
z
x
O
u z
u
u
Cet exercice a pour but l’utilisation de la
relation fondamentale de la dynamique dans
un système de coordonnées où les vecteurs
de la base dépendent du point, et aborde la
résolution d’un problème de mécanique par
une méthode énergétique.
Un anneau de masse m, assimilable à un
point matériel M peut glisser sans frottements sur un hélice d’axe vertical Oz. On
le repère en coordonnées cylindriques par
M (r, u, z). L’hélice se trouve sur une surface
cylindrique de révolution, d’axe Oz et de
rayon R ; son pas est 2pb. La vitesse angulaire dans la rotation autour de l’axe Oz est
v = ˙
u.
1. Écrire les équations de l’hélice en coordonnées cylindriques. Donner (ou retrouver)
l’expression générale du vecteur vitesse
− →
V du point M en coordonnées cylindriques en
fonction de ˙
r, ˙
u, ˙
z, et des vecteurs unitaires du repère. Exprimer
− →
V dans le cas particulier
de l’hélice en fonction de b, R, v. Donner l’expression de l’accélération − → a dans le cas de
l’hélice en fonction de b, R, v, ˙
v =
dv
dt
.
2. La force de liaison (réaction) entre l’hélice et l’anneau sera notée
− →
F = F r
− → u r 1F u
− → u u 1F z
− → u z .
Écrire les relations auxquelles conduit le principe fondamental de la dynamique. Quelle
relation peut-on écrire entre
− →
F et
− →
V si on néglige les frottements ? En déduire alors une
relation simple entre F u , F z , b et R.
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3.b. Donner l’expression de la vitesse en fonction de V l , t et du temps si on lâche le wagon
de O à t = 0 avec une vitesse nulle. En cherchant les équivalents adéquats, préciser quel
est le mouvement du wagon dans les cas limites où t t et t t.
3.c. À t = 0, le wagon est lâché avec une vitesse initiale V 0 non nulle ; donner l’expression
de la vitesse en fonction de V l , V 0 , t et du temps. Tracer sur un même graphe l’évolution
de V en fonction du temps pour ce cas et celui du 3.b. Comment peut-on déterminer t ?
4. Frottements solide et fluide. Le wagon est soumis à la fois à un frottement solide
de coefficient f et à une force de frottement fluide
− →
F = −k ·
− →
V . La condition du 2.a
étant vérifiée, écrire l’équation différentielle de son mouvement. (on suppose V > 0).
Donner l’expression de la nouvelle vitesse limite V
l du wagon en fonction de f , g, t, a.
Commenter.
Exercice 2
Chute d’un anneau sur une hélice d’axe vertical
y
z
x
O
u z
u
u
Cet exercice a pour but l’utilisation de la
relation fondamentale de la dynamique dans
un système de coordonnées où les vecteurs
de la base dépendent du point, et aborde la
résolution d’un problème de mécanique par
une méthode énergétique.
Un anneau de masse m, assimilable à un
point matériel M peut glisser sans frottements sur un hélice d’axe vertical Oz. On
le repère en coordonnées cylindriques par
M (r, u, z). L’hélice se trouve sur une surface
cylindrique de révolution, d’axe Oz et de
rayon R ; son pas est 2pb. La vitesse angulaire dans la rotation autour de l’axe Oz est
v = ˙
u.
1. Écrire les équations de l’hélice en coordonnées cylindriques. Donner (ou retrouver)
l’expression générale du vecteur vitesse
− →
V du point M en coordonnées cylindriques en
fonction de ˙
r, ˙
u, ˙
z, et des vecteurs unitaires du repère. Exprimer
− →
V dans le cas particulier
de l’hélice en fonction de b, R, v. Donner l’expression de l’accélération − → a dans le cas de
l’hélice en fonction de b, R, v, ˙
v =
dv
dt
.
2. La force de liaison (réaction) entre l’hélice et l’anneau sera notée
− →
F = F r
− → u r 1F u
− → u u 1F z
− → u z .
Écrire les relations auxquelles conduit le principe fondamental de la dynamique. Quelle
relation peut-on écrire entre
− →
F et
− →
V si on néglige les frottements ? En déduire alors une
relation simple entre F u , F z , b et R.
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