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ÉNONCÉS
Mécanique du point : référentiels galiléens
Exercice 1
Mouvements de wagons dans une gare de triage
O
A
horizontale
x
y
Ce problème, dont le niveau est proche de
celui des terminales scientifiques, a pour but
l’utilisation et l’exploitation de la relation
fondamentale de la dynamique sur un plan
incliné dans des cas de figure permettant
de passer en revue différent types de frottements.
Le référentiel terrestre est supposé galiléen. On se propose d’étudier le mouvement de
translation d’un wagon de masse m sur une voie rectiligne placée selon une ligne de plus
grande pente d’un plan incliné d’angle a par rapport à l’horizontale. La position de son
centre d’inertie est repérée par x = OM.
1. Absence de tout frottement : on néglige tout frottement ; le wagon est lâché de O à
l’instant t = 0 avec une vitesse initiale nulle. Donner l’expression de sa vitesse V , puis de
x en fonction de g, a et du temps.
2. Frottement solide. La réaction de la voie sur le wagon se fait maintenant avec un
frottement solide de coefficient statique f ; on admettra que le coefficient de frottement
dynamique garde la même valeur. (En fait le wagon roule sans glisser, mais l’essieu est
le siège de frottements solides dont on admet qu’ils sont équivalents à un frottement
statique).
2.a Rappeler les lois de Coulomb du frottement solide. À quelle condition entre f et a
le wagon se met-il à glisser le long de la pente ?
2.b On suppose que la condition de la question précédente est réalisée. Le wagon est alors
lâché de O à t = 0 avec une vitesse initiale nulle. Donner l’expression de x en fonction
de g, a, f et du temps.
2.c On lance le wagon vers le haut de la pente avec une vitesse de valeur V A parallèle à
Ox depuis un point A tel que OA = L. Donner l’expression de x en fonction du temps
dans la phase où il remonte la pente. Quel critère sur les vecteurs vitesse et accélération
permet de savoir si le mouvement est accéléré ou décéléré ? Discuter ce qui se passe
ensuite, selon que la condition du 2.a est réalisée ou non.
3. Frottement fluide. Le wagon est soumis à une force de frottement fluide
− →
F = −k·
− →
V ;
il n’y a pas de frottement solide.
3.a. Quelle est la dimension de k ? Écrire l’équation différentielle en V du mouvement.
Montrer que le wagon atteint une vitesse limite V l et l’exprimer en fonction de m, g, k, et
a. Comment peut-on définir une constante de temps t caractéristique du mouvement ?
1. MÉCANIQUE
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ÉNONCÉS
Mécanique du point : référentiels galiléens
Exercice 1
Mouvements de wagons dans une gare de triage
O
A
horizontale
x
y
Ce problème, dont le niveau est proche de
celui des terminales scientifiques, a pour but
l’utilisation et l’exploitation de la relation
fondamentale de la dynamique sur un plan
incliné dans des cas de figure permettant
de passer en revue différent types de frottements.
Le référentiel terrestre est supposé galiléen. On se propose d’étudier le mouvement de
translation d’un wagon de masse m sur une voie rectiligne placée selon une ligne de plus
grande pente d’un plan incliné d’angle a par rapport à l’horizontale. La position de son
centre d’inertie est repérée par x = OM.
1. Absence de tout frottement : on néglige tout frottement ; le wagon est lâché de O à
l’instant t = 0 avec une vitesse initiale nulle. Donner l’expression de sa vitesse V , puis de
x en fonction de g, a et du temps.
2. Frottement solide. La réaction de la voie sur le wagon se fait maintenant avec un
frottement solide de coefficient statique f ; on admettra que le coefficient de frottement
dynamique garde la même valeur. (En fait le wagon roule sans glisser, mais l’essieu est
le siège de frottements solides dont on admet qu’ils sont équivalents à un frottement
statique).
2.a Rappeler les lois de Coulomb du frottement solide. À quelle condition entre f et a
le wagon se met-il à glisser le long de la pente ?
2.b On suppose que la condition de la question précédente est réalisée. Le wagon est alors
lâché de O à t = 0 avec une vitesse initiale nulle. Donner l’expression de x en fonction
de g, a, f et du temps.
2.c On lance le wagon vers le haut de la pente avec une vitesse de valeur V A parallèle à
Ox depuis un point A tel que OA = L. Donner l’expression de x en fonction du temps
dans la phase où il remonte la pente. Quel critère sur les vecteurs vitesse et accélération
permet de savoir si le mouvement est accéléré ou décéléré ? Discuter ce qui se passe
ensuite, selon que la condition du 2.a est réalisée ou non.
3. Frottement fluide. Le wagon est soumis à une force de frottement fluide
− →
F = −k·
− →
V ;
il n’y a pas de frottement solide.
3.a. Quelle est la dimension de k ? Écrire l’équation différentielle en V du mouvement.
Montrer que le wagon atteint une vitesse limite V l et l’exprimer en fonction de m, g, k, et
a. Comment peut-on définir une constante de temps t caractéristique du mouvement ?
1. MÉCANIQUE
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