i
i
i
i
i
i
i
i
v s
v –
v e
+
–
R 2
R
R 1
C 2
C 1
L
a. On envisage un régime de fonctionnement sinusoïdal permanent.
Exprimer l’amplitude complexe V − de
deux manières différentes :
– tout d’abord en fonction de V e , V s , R 1
et R 2 ,
– puis en fonction de T et V s .
En déduire une relation entre V e et V s
faisant intervenir T , R 1 et R 2 .
b. On relie maintenant R 1 directement
à la masse, ce qui revient à annuler la tension d’entrée (v e = 0).
Montrer que, sous certaines conditions, on peut malgré tout avoir v s (t) différente de zéro.
Dans cette situation, v s (t) peut être une fonction sinusoïdale du temps. Exprimer la
condition d’oscillation par une relation simple entre R 1 , R 2 , C 1 et C 2 .
On pose C
= C 1 C 2 /(C 1 1 C 2 ). Exprimer la pulsation des oscillations en fonction de L
et C
.
3. Étude d’un oscillateur à fréquence modulée.
a. Pour réaliser un tel oscillateur, on branche une diode à capacité variable (ou « varicap »)
en parallèle sur la bobine d’inductance L.
Une varicap peut être assimilée à un condensateur dont la capacité C(s) est fonction d’une
grandeur s, susceptible de varier avec le temps. Ici C(s) = As
n où A et n sont des constantes
positives.
Le quadripôle représenté sur la deuxième figure de l’exercice est alors modifié selon le
montage ci-dessous.
v 1 (t)
v 2 (t)
C 2
C 1
i = 0
R
L
C(s)
La fonction de transfert T
(jv) de ce
nouveau quadripôle peut s’écrire :
T
( jv) =
1
a 1
1
b jv
1 d
jv
.
Expliciter les coefficients a
, b
et d
en fonction de C(s), R, L, C 1 et C 2 , en remarquant
qu’il suffit de remplacer l’impédance complexe de la bobine par celle de l’ensemble bobine
et varicap en parallèle.
b. On reprend l’avant dernier montage, dans lequel v e = 0, en y introduisant la varicap.
On obtient le montage ci-après.
On fixe s à la valeur constante S o , pour laquelle C(S o ) = C o . Exprimer la pulsation v o de
l’oscillateur en fonction de C o , L, C 1 et C 2 .
On impose maintenant s(t) = S o 1 ´ cos(at) où ´ et a sont des constantes positives.
c. Sachant que ´ So, établir l’expression approchée au premier ordre de C(t).
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i
i
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v e
+
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R 2
R
R 1
C 2
C 1
L
a. On envisage un régime de fonctionnement sinusoïdal permanent.
Exprimer l’amplitude complexe V − de
deux manières différentes :
– tout d’abord en fonction de V e , V s , R 1
et R 2 ,
– puis en fonction de T et V s .
En déduire une relation entre V e et V s
faisant intervenir T , R 1 et R 2 .
b. On relie maintenant R 1 directement
à la masse, ce qui revient à annuler la tension d’entrée (v e = 0).
Montrer que, sous certaines conditions, on peut malgré tout avoir v s (t) différente de zéro.
Dans cette situation, v s (t) peut être une fonction sinusoïdale du temps. Exprimer la
condition d’oscillation par une relation simple entre R 1 , R 2 , C 1 et C 2 .
On pose C
= C 1 C 2 /(C 1 1 C 2 ). Exprimer la pulsation des oscillations en fonction de L
et C
.
3. Étude d’un oscillateur à fréquence modulée.
a. Pour réaliser un tel oscillateur, on branche une diode à capacité variable (ou « varicap »)
en parallèle sur la bobine d’inductance L.
Une varicap peut être assimilée à un condensateur dont la capacité C(s) est fonction d’une
grandeur s, susceptible de varier avec le temps. Ici C(s) = As
n où A et n sont des constantes
positives.
Le quadripôle représenté sur la deuxième figure de l’exercice est alors modifié selon le
montage ci-dessous.
v 1 (t)
v 2 (t)
C 2
C 1
i = 0
R
L
C(s)
La fonction de transfert T
(jv) de ce
nouveau quadripôle peut s’écrire :
T
( jv) =
1
a 1
1
b jv
1 d
jv
.
Expliciter les coefficients a
, b
et d
en fonction de C(s), R, L, C 1 et C 2 , en remarquant
qu’il suffit de remplacer l’impédance complexe de la bobine par celle de l’ensemble bobine
et varicap en parallèle.
b. On reprend l’avant dernier montage, dans lequel v e = 0, en y introduisant la varicap.
On obtient le montage ci-après.
On fixe s à la valeur constante S o , pour laquelle C(S o ) = C o . Exprimer la pulsation v o de
l’oscillateur en fonction de C o , L, C 1 et C 2 .
On impose maintenant s(t) = S o 1 ´ cos(at) où ´ et a sont des constantes positives.
c. Sachant que ´ So, établir l’expression approchée au premier ordre de C(t).
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