i
i
i
i
i
i
i
i
– Calculer la résistance critique R C du circuit.
– En comparant la résistance totale du circuit à sa résistance critique, décrire v
(t).
– Montrer que, pour une valeur R om de R o , l’amortissement du circuit est supprimé.
– R o = R om , que se passe-t-il si on supprime le générateur ? D’où provient l’énergie
dissipée dans les conducteurs ohmiques ?
Exercice 19 Modélisation d’un oscillateur électrique par l’équation de Van Der Pol
u
+
–
R 1
R 0
R 1
A
S
M
i
Soit le montage à « résistance négative » ci-contre.
1. Retrouver rapidement l’équation de sa caractéristique
u = f (i) lorsque l’A.O. fonctionne en régime linéaire
et en régime de saturation. Tracer u = f (i).
2. L’ensemble de cette caractéristique peut être modélisée par une équation unique :
u = ai 1 bi
3
Exprimer a et b en fonction de V sat et des résistances du
montage en faisant correspondre les abscisses des deux extréma de la courbe réelle et de
la courbe modélisée. Que vaut l’écart entre ces deux courbes si l’on étudie les ordonnées
de ces deux extréma ? Montrer que cet écart est négligeable si R 1 R o .
3. On relie ce montage, entre les bornes A et M, à un circuit r, L, C série.
Montrer que l’on obtient alors une équation différentielle sur i de la forme :
d
2 i
dt 2 − ´v o
1 −
i
2
i 2
o
di
dt
1 v
2
o i = 0
qui est appelée équation de Van Der Pol. Exprimer ´, i o et v o en fonction des grandeurs
du montage. À quelle condition obtient-on des oscillations ?
4. A.N. R 1 = 2,2 kV , R o = 230 V , r = 185 V, L = 0,5 H, C = 5,0 mF. Calculer ´ et
v o . Discuter le résultat obtenu.
Exercice 20 Alimentation d’un haut parleur (d’après CAPES 1995)
R
C
i
R
C
v s
A
B
On considère le circuit représenté ci-contre : v s est une
tension de forme quelconque fournie par une source
supposée parfaite. On désigne par i l’intensité du courant qui circule dans l’association R − C série et par v e
la tension V A − V B .
1.a. Établir la relation qui existe entre i, v e et dv e /dt.
4. ÉLECTRONIQUE
337
i
i
i
i
i
i
i
– Calculer la résistance critique R C du circuit.
– En comparant la résistance totale du circuit à sa résistance critique, décrire v
(t).
– Montrer que, pour une valeur R om de R o , l’amortissement du circuit est supprimé.
– R o = R om , que se passe-t-il si on supprime le générateur ? D’où provient l’énergie
dissipée dans les conducteurs ohmiques ?
Exercice 19 Modélisation d’un oscillateur électrique par l’équation de Van Der Pol
u
+
–
R 1
R 0
R 1
A
S
M
i
Soit le montage à « résistance négative » ci-contre.
1. Retrouver rapidement l’équation de sa caractéristique
u = f (i) lorsque l’A.O. fonctionne en régime linéaire
et en régime de saturation. Tracer u = f (i).
2. L’ensemble de cette caractéristique peut être modélisée par une équation unique :
u = ai 1 bi
3
Exprimer a et b en fonction de V sat et des résistances du
montage en faisant correspondre les abscisses des deux extréma de la courbe réelle et de
la courbe modélisée. Que vaut l’écart entre ces deux courbes si l’on étudie les ordonnées
de ces deux extréma ? Montrer que cet écart est négligeable si R 1 R o .
3. On relie ce montage, entre les bornes A et M, à un circuit r, L, C série.
Montrer que l’on obtient alors une équation différentielle sur i de la forme :
d
2 i
dt 2 − ´v o
1 −
i
2
i 2
o
di
dt
1 v
2
o i = 0
qui est appelée équation de Van Der Pol. Exprimer ´, i o et v o en fonction des grandeurs
du montage. À quelle condition obtient-on des oscillations ?
4. A.N. R 1 = 2,2 kV , R o = 230 V , r = 185 V, L = 0,5 H, C = 5,0 mF. Calculer ´ et
v o . Discuter le résultat obtenu.
Exercice 20 Alimentation d’un haut parleur (d’après CAPES 1995)
R
C
i
R
C
v s
A
B
On considère le circuit représenté ci-contre : v s est une
tension de forme quelconque fournie par une source
supposée parfaite. On désigne par i l’intensité du courant qui circule dans l’association R − C série et par v e
la tension V A − V B .
1.a. Établir la relation qui existe entre i, v e et dv e /dt.
4. ÉLECTRONIQUE
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