i
i
i
i
i
i
i
i
Le premier terme n’est autre que l’accélération centripète. Il est utile de se rappeler que
c’est à partir de cette expression que l’on écrit l’accélération d’entraînement d’un point
lors d’un changement de référentiel.
5.2. Moment cinétique, énergie cinétique, opérateur d’inertie
G
R
O
M
OM
x
y
z
Un point M est repéré par ses coordonnées
cartésiennes :
− − →
OM
x
y
z
.
− →
V (S/R) étant le vecteur rotation instantané du solide S, il est facile de montrer que le
moment cinétique − → s O (S/R) peut s’écrire :
− → s O (S/R) = J (O/S) ·
− →
V (S/R)
L’opérateur d’inertie en O du solide S est :
J (O, S) =
J xx (O) −J xy (O) −J xz (O)
−J xy (O) J yy (O) −J yz (O)
−J xz (O) −J yz (O) J zz (O)
où J xx (O), J yy (O), J zz (O) sont les moments d’inertie par rapport aux axes x
x, y
y, z
z passant par O. Les autres termes sont les produits d’inertie (on peut les interpréter comme
des moments d’inertie par rapport à des plans). dm étant la masse de l’élément de matière
infinitésimal entourant M, les termes de la matrice sont définis par :
J xx (O) =
S
(y
2 1 z
2 )dm
J xy (O) =
S
xydm
Il importe de remarquer que l’expression de J (O, S) dépend de la base dans laquelle les
moments et produits d’inertie sont calculés. Les trois directions associées à la base dans
laquelle J (O, S) est diagonale définissent les axes principaux d’inertie en O du solide S.
On montre que l’énergie cinétique est :
E c (S/R) =
1
2
− → s O (S/R) ·
− →
V (S/R)
Du point de vue des dimensions :
– Le moment cinétique est homogène à : (moment d’inertie) 3 (vitesse angulaire)
– L’énergie cinétique est homogène à : (moment d’inertie) 3 (vitesse angulaire)
2
Les relations telles qu’elles sont écrites ci-dessus permettent de traiter le mouvement d’un
solide autour d’un point fixe.
1. MÉCANIQUE
31
i
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Le premier terme n’est autre que l’accélération centripète. Il est utile de se rappeler que
c’est à partir de cette expression que l’on écrit l’accélération d’entraînement d’un point
lors d’un changement de référentiel.
5.2. Moment cinétique, énergie cinétique, opérateur d’inertie
G
R
O
M
OM
x
y
z
Un point M est repéré par ses coordonnées
cartésiennes :
− − →
OM
x
y
z
.
− →
V (S/R) étant le vecteur rotation instantané du solide S, il est facile de montrer que le
moment cinétique − → s O (S/R) peut s’écrire :
− → s O (S/R) = J (O/S) ·
− →
V (S/R)
L’opérateur d’inertie en O du solide S est :
J (O, S) =
J xx (O) −J xy (O) −J xz (O)
−J xy (O) J yy (O) −J yz (O)
−J xz (O) −J yz (O) J zz (O)
où J xx (O), J yy (O), J zz (O) sont les moments d’inertie par rapport aux axes x
x, y
y, z
z passant par O. Les autres termes sont les produits d’inertie (on peut les interpréter comme
des moments d’inertie par rapport à des plans). dm étant la masse de l’élément de matière
infinitésimal entourant M, les termes de la matrice sont définis par :
J xx (O) =
S
(y
2 1 z
2 )dm
J xy (O) =
S
xydm
Il importe de remarquer que l’expression de J (O, S) dépend de la base dans laquelle les
moments et produits d’inertie sont calculés. Les trois directions associées à la base dans
laquelle J (O, S) est diagonale définissent les axes principaux d’inertie en O du solide S.
On montre que l’énergie cinétique est :
E c (S/R) =
1
2
− → s O (S/R) ·
− →
V (S/R)
Du point de vue des dimensions :
– Le moment cinétique est homogène à : (moment d’inertie) 3 (vitesse angulaire)
– L’énergie cinétique est homogène à : (moment d’inertie) 3 (vitesse angulaire)
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Les relations telles qu’elles sont écrites ci-dessus permettent de traiter le mouvement d’un
solide autour d’un point fixe.
1. MÉCANIQUE
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