solutions des exercices
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que l’on transforme, avec l’expression conjuguée du dénominateur (R − jLv) après
quelques calculs simples en :
1
Z
=
R 1 jv.
R
2 C − L.(1 − LCv
2 )
R 2 1 L 2 v 2
puis numériquement en
1
Z
=
10 1 j.(37,81)
8 983
. On obtient le module de l’impédance
Z ≈ 230 V et l’intensité efficace I = U /Z = 0,44 A. On tire la phase de i = v.(1/Z)
soit w = 0 1 arg(1/Z) ; on a donc :
tan(w) =
v.
R
2 C − L.(1 − LCv
2 )
R
= −3,78
d’où w ≈ −75
◦ (i retarde sur v).
2. À 65 Hz, la pulsation v = 2p.f vaut 130p rad/s. Les calculs sont analogues aux
précédents. On trouve les résultats ci-après :
– condensateur seul : I C = 0,82 A en avance de 1p/2 sur v ;
– bobine : Z = 123 V ; I b = U /Z = 0,81 A ; tan(w) = −12,3 et w ≈ −85
◦ (le courant
i retarde sur v) ;
– RLC série : le terme Lv − 1/Cv vaut alors 0,1 V, négligeable devant R. L’impédance
se réduit donc à Z = R = 10 V, et tan(w) = −0,01 d’où w ≈ −0,5
◦ (le courant i est
presque en phase avec v, en léger retard). L’intensité efficace vaut I = U /Z = 10 A ;
– bobine et condensateur en dérivation : le terme v.[R
2 C−L.(1−LCv
2 )] vaut ici 0,91 V,
d’où Z ≈ 1 500 V et l’intensité efficace I = U /Z = 0,066 A. Puis tan(w) = 0,091 et
w ≈ 15
◦ (i avance sur v).
Dans ce montage, i et v sont en phase si le terme R
2 C − L.(1 − LCv
2 ) est nul. Cela a
lieu à la pulsation v =
L − R 2 C
L 2 C
≈ 406,9 rad/s soit à la fréquence 64,8 Hz, valeur
proche de 65 Hz.
A
B
e
g
Z 1
Z 2
Z 4
Z 3
18 De même qu’en régime continu, le pont est « équilibré » s’il ne passe pas de courant dans le détecteur central (galvanomètre g), c’est-à-dire si les extrémités A et
B de cette branche sont au même potentiel. La condition
s’écrit en nombres complexes comme en valeurs continues :
Z 1 .Z 3 = Z 2 .Z 4 ; cette équation en complexes en représente
en réalité deux : égalité des parties réelles et égalité des parties
imaginaires.
1. Ici, dans le pont proposé, les impédances Z 1 et Z 3 sont réelles (égales à R et R
respectivement). De plus,
Z 2 = x 1 jLv et Z 4 = −j/(Cv) = 1/(jCv)
3. ÉLECTROCINÉTIQUE
299
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que l’on transforme, avec l’expression conjuguée du dénominateur (R − jLv) après
quelques calculs simples en :
1
Z
=
R 1 jv.
R
2 C − L.(1 − LCv
2 )
R 2 1 L 2 v 2
puis numériquement en
1
Z
=
10 1 j.(37,81)
8 983
. On obtient le module de l’impédance
Z ≈ 230 V et l’intensité efficace I = U /Z = 0,44 A. On tire la phase de i = v.(1/Z)
soit w = 0 1 arg(1/Z) ; on a donc :
tan(w) =
v.
R
2 C − L.(1 − LCv
2 )
R
= −3,78
d’où w ≈ −75
◦ (i retarde sur v).
2. À 65 Hz, la pulsation v = 2p.f vaut 130p rad/s. Les calculs sont analogues aux
précédents. On trouve les résultats ci-après :
– condensateur seul : I C = 0,82 A en avance de 1p/2 sur v ;
– bobine : Z = 123 V ; I b = U /Z = 0,81 A ; tan(w) = −12,3 et w ≈ −85
◦ (le courant
i retarde sur v) ;
– RLC série : le terme Lv − 1/Cv vaut alors 0,1 V, négligeable devant R. L’impédance
se réduit donc à Z = R = 10 V, et tan(w) = −0,01 d’où w ≈ −0,5
◦ (le courant i est
presque en phase avec v, en léger retard). L’intensité efficace vaut I = U /Z = 10 A ;
– bobine et condensateur en dérivation : le terme v.[R
2 C−L.(1−LCv
2 )] vaut ici 0,91 V,
d’où Z ≈ 1 500 V et l’intensité efficace I = U /Z = 0,066 A. Puis tan(w) = 0,091 et
w ≈ 15
◦ (i avance sur v).
Dans ce montage, i et v sont en phase si le terme R
2 C − L.(1 − LCv
2 ) est nul. Cela a
lieu à la pulsation v =
L − R 2 C
L 2 C
≈ 406,9 rad/s soit à la fréquence 64,8 Hz, valeur
proche de 65 Hz.
A
B
e
g
Z 1
Z 2
Z 4
Z 3
18 De même qu’en régime continu, le pont est « équilibré » s’il ne passe pas de courant dans le détecteur central (galvanomètre g), c’est-à-dire si les extrémités A et
B de cette branche sont au même potentiel. La condition
s’écrit en nombres complexes comme en valeurs continues :
Z 1 .Z 3 = Z 2 .Z 4 ; cette équation en complexes en représente
en réalité deux : égalité des parties réelles et égalité des parties
imaginaires.
1. Ici, dans le pont proposé, les impédances Z 1 et Z 3 sont réelles (égales à R et R
respectivement). De plus,
Z 2 = x 1 jLv et Z 4 = −j/(Cv) = 1/(jCv)
3. ÉLECTROCINÉTIQUE
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