solutions des exercices
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16 Par définition, l’intensité efficace fournit le même effet Joule que le courant périodique :
R.I
2
eff .T =
(T )
R.i(t)
2 .dt
(l’intégration se fait sur l’intervalle périodique de définition du courant, et non systématiquement de 0 à T ).
1. Avec i(t) = (2a/T ).t, on obtient après intégration :
R.I
2
eff .T = 4a
2 .
R
T 2 .
t
3
3
1T /2
−T /2
d’où I eff =
a
√
3
Le résultat « classique »
I max
√
2
n’est valable que pour un courant sinusoïdal (ici, I max = a).
2. Ce courant n’est pas sinusoïdal : c’est la superposition d’un courant continu (I 1 = 3 A)
et d’un courant sinusoïdal i 2 (t) = 2. cos(vt − p/4). Son amplitude varie entre 1 A
(= 3 − 2) et 5 A (= 3 1 2). Le vecteur de Fresnel associé au courant continu est porté
par l’axe Ox, de longueur 3. Celui associé à i 2 fait l’angle −p/4 avec Ox et mesure 2
unités. La somme vectorielle donne le vecteur résultant OM. Au cours du temps, le point
M décrit le cercle de rayon 2 A.
M
O
i
π
– —
4
i 2
I 1
0
1
2
3
4
5
i (t)
t
T
En complexes,
i = 3 1 2. exp
j(v.t − p/4)
Or exp(−j.p/4) = (1 − j)/
√
2 d’où i = 3 1
√
2.(1 − j).e
jv.t .
L’intensité efficace se calcule par le carré de l’intensité :
I
2 = [3 1 2.cos(vt − p/4)]
2 = 9 1 12.cos(vt − p/4) 1 4.cos
2 (vt − p/4)
d’où, en prenant la valeur moyenne sur une période, I
2
eff = 9 1 0 1 4/2 = 11 A
2 et
I eff =
√
11 ≈ 3,3 A.
Il est faux d’écrire ici I eff =
I max
√
2
avec I max = 5 A (et 5/
√
2 ≈ 3,5).
3. ÉLECTROCINÉTIQUE
297
i
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16 Par définition, l’intensité efficace fournit le même effet Joule que le courant périodique :
R.I
2
eff .T =
(T )
R.i(t)
2 .dt
(l’intégration se fait sur l’intervalle périodique de définition du courant, et non systématiquement de 0 à T ).
1. Avec i(t) = (2a/T ).t, on obtient après intégration :
R.I
2
eff .T = 4a
2 .
R
T 2 .
t
3
3
1T /2
−T /2
d’où I eff =
a
√
3
Le résultat « classique »
I max
√
2
n’est valable que pour un courant sinusoïdal (ici, I max = a).
2. Ce courant n’est pas sinusoïdal : c’est la superposition d’un courant continu (I 1 = 3 A)
et d’un courant sinusoïdal i 2 (t) = 2. cos(vt − p/4). Son amplitude varie entre 1 A
(= 3 − 2) et 5 A (= 3 1 2). Le vecteur de Fresnel associé au courant continu est porté
par l’axe Ox, de longueur 3. Celui associé à i 2 fait l’angle −p/4 avec Ox et mesure 2
unités. La somme vectorielle donne le vecteur résultant OM. Au cours du temps, le point
M décrit le cercle de rayon 2 A.
M
O
i
π
– —
4
i 2
I 1
0
1
2
3
4
5
i (t)
t
T
En complexes,
i = 3 1 2. exp
j(v.t − p/4)
Or exp(−j.p/4) = (1 − j)/
√
2 d’où i = 3 1
√
2.(1 − j).e
jv.t .
L’intensité efficace se calcule par le carré de l’intensité :
I
2 = [3 1 2.cos(vt − p/4)]
2 = 9 1 12.cos(vt − p/4) 1 4.cos
2 (vt − p/4)
d’où, en prenant la valeur moyenne sur une période, I
2
eff = 9 1 0 1 4/2 = 11 A
2 et
I eff =
√
11 ≈ 3,3 A.
Il est faux d’écrire ici I eff =
I max
√
2
avec I max = 5 A (et 5/
√
2 ≈ 3,5).
3. ÉLECTROCINÉTIQUE
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