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Théorème : La variation d’énergie cinétique du système S (dans R gal ) entre deux instants t 1 et
t 2 est égale à la somme des travaux de toutes les forces intérieures et extérieures appliquées au
système entre ces deux instants.
E C2 (S/R gal ) − E C1 (S/R gal ) =
W t1→t2 (
− →
F )
Remarque : si R n’est pas galiléen, il faut ajouter le travail des forces d’inertie d’entraînement.
Conservation de l’énergie : L’énergie totale d’un système S de points matériels se conserve si
les forces intérieures et extérieures qu’il subit dérivent toutes d’une énergie potentielle ; chaque
point matériel étant repéré par
− → r i , cette énergie s’écrit :
E = E C 1 E
ext
p
− → r i
1 E
int
p
− → r i
.
Il importe de remarquer qu’en toute généralité, cette expression de l’énergie prend en
compte les interactions microscopiques, donc l’énergie interne du système.
4.6. Théorèmes de Koenig
Ces théorèmes permettent de calculer le moment cinétique en un point quelconque par
rapport à R en fonction du moment cinétique en G et l’énergie cinétique dans R en
fonction de l’énergie cinétique dans R ba
− →
s A (S/R) = − → s G (S) 1
−→
AG ∧ m − →
v G (R)
E c (S/R) = E c (S/R ba ) 1
1
2
m − →
v G
2 (R)
4.7. Réduction canonique du problème à deux corps
On désigne par S un système de deux point matériels M 1 et M 2 de masses m 1 et
m 2 en interaction. L’énergie potentielle qui décrit cette interaction est invariante par
translation de l’ensemble (donc elle dépend de la seule différence de leurs positions
− → r = − → r 1 − − → r 2 =
−−−→
M 2 M 1 ) et par rotation de l’ensemble (donc elle dépend de la seule
norme de − → r ). Le système est supposé isolé par rapport à un référentiel galiléen R gal .
Propriétés : Dans le référentiel barycentrique R ba , le mouvement de chaque point matériel est
un mouvement à force centrale (de centre G).
– Les deux équations traduisant la relation fondamentale de la dynamique se ramènent à
m
d
2− → r
dt 2 = −
dEp(r)
dr
− →
ur, où m =
m 1 m 2
m 1 1 m 2
est la masse réduite du système et
− →
ur =
− → r
r
. On dit que
le mouvement se ramène à l’étude du mouvement à force centrale d’une particule dite « fictive »,
de masse m.
– Le moment cinétique de S en G est − → s G (S) = m − → r ∧ ˙
− → r
– L’énergie cinétique de S dans R ba est E C (S/R ba ) =
1
2
m ˙
− → r
2
➜ Voir exercices 18 à 26
1. MÉCANIQUE
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Théorème : La variation d’énergie cinétique du système S (dans R gal ) entre deux instants t 1 et
t 2 est égale à la somme des travaux de toutes les forces intérieures et extérieures appliquées au
système entre ces deux instants.
E C2 (S/R gal ) − E C1 (S/R gal ) =
W t1→t2 (
− →
F )
Remarque : si R n’est pas galiléen, il faut ajouter le travail des forces d’inertie d’entraînement.
Conservation de l’énergie : L’énergie totale d’un système S de points matériels se conserve si
les forces intérieures et extérieures qu’il subit dérivent toutes d’une énergie potentielle ; chaque
point matériel étant repéré par
− → r i , cette énergie s’écrit :
E = E C 1 E
ext
p
− → r i
1 E
int
p
− → r i
.
Il importe de remarquer qu’en toute généralité, cette expression de l’énergie prend en
compte les interactions microscopiques, donc l’énergie interne du système.
4.6. Théorèmes de Koenig
Ces théorèmes permettent de calculer le moment cinétique en un point quelconque par
rapport à R en fonction du moment cinétique en G et l’énergie cinétique dans R en
fonction de l’énergie cinétique dans R ba
− →
s A (S/R) = − → s G (S) 1
−→
AG ∧ m − →
v G (R)
E c (S/R) = E c (S/R ba ) 1
1
2
m − →
v G
2 (R)
4.7. Réduction canonique du problème à deux corps
On désigne par S un système de deux point matériels M 1 et M 2 de masses m 1 et
m 2 en interaction. L’énergie potentielle qui décrit cette interaction est invariante par
translation de l’ensemble (donc elle dépend de la seule différence de leurs positions
− → r = − → r 1 − − → r 2 =
−−−→
M 2 M 1 ) et par rotation de l’ensemble (donc elle dépend de la seule
norme de − → r ). Le système est supposé isolé par rapport à un référentiel galiléen R gal .
Propriétés : Dans le référentiel barycentrique R ba , le mouvement de chaque point matériel est
un mouvement à force centrale (de centre G).
– Les deux équations traduisant la relation fondamentale de la dynamique se ramènent à
m
d
2− → r
dt 2 = −
dEp(r)
dr
− →
ur, où m =
m 1 m 2
m 1 1 m 2
est la masse réduite du système et
− →
ur =
− → r
r
. On dit que
le mouvement se ramène à l’étude du mouvement à force centrale d’une particule dite « fictive »,
de masse m.
– Le moment cinétique de S en G est − → s G (S) = m − → r ∧ ˙
− → r
– L’énergie cinétique de S dans R ba est E C (S/R ba ) =
1
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m ˙
− → r
2
➜ Voir exercices 18 à 26
1. MÉCANIQUE
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