solutions des exercices
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SOLUTIONS
θ
q
q
L
O
F
P
T
d
1 Les charges sont de même signe : il y a répulsion
(loi de Coulomb). Les masses sont soumises à 3 forces :
le poids (P = mg), la tension des fils (T ) et la force
électrostatique (F = k.q
2 /d
2 ) avec k = 1/(4p´ 0 ). À
l’équilibre,
F = 0, ce qui s’écrit :
F/P = tan(u) avec d = 2L. sin(u).
D’où l’équation en u :
sin
2 u. tan u =
1
4p´ 0
.
q
2
4L 2 mg
C’est une équation non algébrique de la forme sin
2 u. tan u = A que l’on résout graphiquement ou numériquement (par approximations successives). La fonction y(u) = sin
2 u. tan u
est une fonction croissante de u (car produit de 2 fonctions croissantes).
Si A 1, on a aussi y(u) 1 or y(u) ≈ u
3 , d’où u ≈
3
√
A.
Si A 1, alors u ≈ p/2, car sin(u) est limité par 1.
Sinon, on résout numériquement par approximations successives.
1. q = 2 · 10
−8 C, d’où A = 9,2 · 10
−3
1 et u ≈
3
√
A ≈ 0,21 rad ≈ 12
◦
2. q = 100 · 10
−8 C, d’où A = 22,9. C’est « presque grand » devant 1, et u ≈ p/2. On
peut affiner ce résultat : on part de u 1 tel que tan(u 1 ) = A/1 d’où u 1 = 87,5
◦ ; puis u 2 tel
que tan(u 2 ) = A/ sin
2 (u 1 ) d’où u 2 = 87,51
◦ , la convergence est rapide.
3. q = −30 · 10
−8 C : les charges se repoussent avec A = 2,06. Comme A est supérieur à
1, on peut supposer u > 45
◦ . On part de u 1 tel que tan(u 1 ) = A/1 d’où u 1 = 64,1
◦ ; puis
u 2 tel que tan(u 2 ) = A/ sin
2 (u 1 ) d’où u 2 = 68,8
◦ ; puis u 3 tel que tan(u 3 ) = A/ sin
2 (u 2 )
d’où u 3 = 67,1
◦ . Le processus converge rapidement vers u = 67,5
◦ .
En fait, si la charge q est faible, u l’est aussi ; l’appareil sert à déterminer q par la mesure
de u avec q ≈ u
3
2 .
2 1. La densité de courant est j = nqv avec n = 1,4.r.N A /M (en C/m
3 ) et
j = 10
6 A/m
2 ; d’où v = j/nq = 0,05 mm/s. On a bien v c.
Puisque j et v sont proportionnels, la densité de courant doit être de 20 A/mm
2 pour
entraîner les électrons à la vitesse de 1 mm/s.
2. Loi d’Ohm : si un électron n’était soumis qu’à la force électrique
F = q.
E, sa
vitesse croîtrait indéfiniment (accélération constante). Il y a donc une force antagoniste
de freinage, proportionnelle à la vitesse, telle que
F = 0 soit q.
E − k. v = 0. Or
j = nq. v d’où j =
nq
2
k
.
E = s.
E. C’est la loi d’Ohm locale.
3. ÉLECTROCINÉTIQUE
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SOLUTIONS
θ
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O
F
P
T
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1 Les charges sont de même signe : il y a répulsion
(loi de Coulomb). Les masses sont soumises à 3 forces :
le poids (P = mg), la tension des fils (T ) et la force
électrostatique (F = k.q
2 /d
2 ) avec k = 1/(4p´ 0 ). À
l’équilibre,
F = 0, ce qui s’écrit :
F/P = tan(u) avec d = 2L. sin(u).
D’où l’équation en u :
sin
2 u. tan u =
1
4p´ 0
.
q
2
4L 2 mg
C’est une équation non algébrique de la forme sin
2 u. tan u = A que l’on résout graphiquement ou numériquement (par approximations successives). La fonction y(u) = sin
2 u. tan u
est une fonction croissante de u (car produit de 2 fonctions croissantes).
Si A 1, on a aussi y(u) 1 or y(u) ≈ u
3 , d’où u ≈
3
√
A.
Si A 1, alors u ≈ p/2, car sin(u) est limité par 1.
Sinon, on résout numériquement par approximations successives.
1. q = 2 · 10
−8 C, d’où A = 9,2 · 10
−3
1 et u ≈
3
√
A ≈ 0,21 rad ≈ 12
◦
2. q = 100 · 10
−8 C, d’où A = 22,9. C’est « presque grand » devant 1, et u ≈ p/2. On
peut affiner ce résultat : on part de u 1 tel que tan(u 1 ) = A/1 d’où u 1 = 87,5
◦ ; puis u 2 tel
que tan(u 2 ) = A/ sin
2 (u 1 ) d’où u 2 = 87,51
◦ , la convergence est rapide.
3. q = −30 · 10
−8 C : les charges se repoussent avec A = 2,06. Comme A est supérieur à
1, on peut supposer u > 45
◦ . On part de u 1 tel que tan(u 1 ) = A/1 d’où u 1 = 64,1
◦ ; puis
u 2 tel que tan(u 2 ) = A/ sin
2 (u 1 ) d’où u 2 = 68,8
◦ ; puis u 3 tel que tan(u 3 ) = A/ sin
2 (u 2 )
d’où u 3 = 67,1
◦ . Le processus converge rapidement vers u = 67,5
◦ .
En fait, si la charge q est faible, u l’est aussi ; l’appareil sert à déterminer q par la mesure
de u avec q ≈ u
3
2 .
2 1. La densité de courant est j = nqv avec n = 1,4.r.N A /M (en C/m
3 ) et
j = 10
6 A/m
2 ; d’où v = j/nq = 0,05 mm/s. On a bien v c.
Puisque j et v sont proportionnels, la densité de courant doit être de 20 A/mm
2 pour
entraîner les électrons à la vitesse de 1 mm/s.
2. Loi d’Ohm : si un électron n’était soumis qu’à la force électrique
F = q.
E, sa
vitesse croîtrait indéfiniment (accélération constante). Il y a donc une force antagoniste
de freinage, proportionnelle à la vitesse, telle que
F = 0 soit q.
E − k. v = 0. Or
j = nq. v d’où j =
nq
2
k
.
E = s.
E. C’est la loi d’Ohm locale.
3. ÉLECTROCINÉTIQUE
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