i
i
i
i
i
i
i
i
La dérivée di/dt est associée à jv · z tandis que l’intégrale est associée à
z
jv
.
L’avantage de la notation complexe réside dans le fait que :
– la dérivation est remplacée par le produit par jv (correspond à une rotation de 1p/2)
– l’intégration est remplacée par le quotient par jv (correspond à une rotation de −p/2)
Ces opérateurs sont linéaires, ce qui sera très utile dans les équations différentielles.
3.2. Intensité efficace (effet Joule)
Définition : l’intensité efficace d’un courant variable est égale à l’intensité d’un courant continu
qui dégagerait la même énergie thermique que ce courant variable en passant dans le même
conducteur pendant la même durée.
L’énergie dégagée sur une période T par ce courant continu dans R vaut W = R · I
2
eff · T .
Celle dégagée par le courant variable i(t) est
T
R · i(t)
2
· dt l’intégrale étant calculée
sur une période T , correspondant à la définition de i(t). D’où l’expression du carré de
l’intensité efficace :
I
2
eff =
1
T
T
i(t)
2
· dt
Exemple : pour i(t) = 5t/T (périodique, défini entre −T /2 et 1T /2). Alors I eff =
I M
√
3
avec I M = 5/2 A. Le facteur
√
3 au dénominateur provient de l’intégration de t
2 en
t
3 /3.
• Cas particulier d’un courant sinusoïdal : avec i(t) = I M . sin(vt 1 w), on calcule que
1
T
T
sin(vt)
2
· dt =
1
2
. On en déduit le résultat « classique » :
I eff =
I M
√
2
Cette expression n’est valable que pour un courant sinusoïdal.
3.3. Loi d’Ohm en régime sinusoïdal (circuit RLC série)
B
A
R
L
v
C
Soit une portion AB de circuit composée
des éléments suivants placés en série : une
résistance R, une bobine d’inductance L, un
condensateur de capacité C. On désigne habituellement ce montage par l’expression « circuit RLC série » ou « circuit oscillant série ».
Soit v(t) la tension aux bornes (A et B). La loi d’Ohm permet d’écrire l’équation différentielle régissant cette portion de circuit :
v = R · i 1 L ·
di
dt
1
1
C
i(t) · dt
3. ÉLECTROCINÉTIQUE
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i
i
i
i
i
i
i
La dérivée di/dt est associée à jv · z tandis que l’intégrale est associée à
z
jv
.
L’avantage de la notation complexe réside dans le fait que :
– la dérivation est remplacée par le produit par jv (correspond à une rotation de 1p/2)
– l’intégration est remplacée par le quotient par jv (correspond à une rotation de −p/2)
Ces opérateurs sont linéaires, ce qui sera très utile dans les équations différentielles.
3.2. Intensité efficace (effet Joule)
Définition : l’intensité efficace d’un courant variable est égale à l’intensité d’un courant continu
qui dégagerait la même énergie thermique que ce courant variable en passant dans le même
conducteur pendant la même durée.
L’énergie dégagée sur une période T par ce courant continu dans R vaut W = R · I
2
eff · T .
Celle dégagée par le courant variable i(t) est
T
R · i(t)
2
· dt l’intégrale étant calculée
sur une période T , correspondant à la définition de i(t). D’où l’expression du carré de
l’intensité efficace :
I
2
eff =
1
T
T
i(t)
2
· dt
Exemple : pour i(t) = 5t/T (périodique, défini entre −T /2 et 1T /2). Alors I eff =
I M
√
3
avec I M = 5/2 A. Le facteur
√
3 au dénominateur provient de l’intégration de t
2 en
t
3 /3.
• Cas particulier d’un courant sinusoïdal : avec i(t) = I M . sin(vt 1 w), on calcule que
1
T
T
sin(vt)
2
· dt =
1
2
. On en déduit le résultat « classique » :
I eff =
I M
√
2
Cette expression n’est valable que pour un courant sinusoïdal.
3.3. Loi d’Ohm en régime sinusoïdal (circuit RLC série)
B
A
R
L
v
C
Soit une portion AB de circuit composée
des éléments suivants placés en série : une
résistance R, une bobine d’inductance L, un
condensateur de capacité C. On désigne habituellement ce montage par l’expression « circuit RLC série » ou « circuit oscillant série ».
Soit v(t) la tension aux bornes (A et B). La loi d’Ohm permet d’écrire l’équation différentielle régissant cette portion de circuit :
v = R · i 1 L ·
di
dt
1
1
C
i(t) · dt
3. ÉLECTROCINÉTIQUE
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