i
i
i
i
i
i
i
i
3. LES RÉGIMES SINUSOÏDAUX
3.1. Grandeurs sinusoïdales
Un courant alternatif transporte la même quantité d’électricité à chaque alternance (dans
un sens puis dans l’autre). L’intensité moyenne (sur un nombre pair d’alternances) est donc
nulle i = 0.
Un courant périodique est tel qu’il existe une durée T telle que i(t 1 T ) = i(t). La durée
T est la période du courant (ou de la tension). La fréquence n (en Hz) est l’inverse de la
période : n =
1
T
.
Un courant sinusoïdal est décrit par la fonction i(t) = I M · sin(v · t 1 w) où I M est
l’intensité maximale, (v · t 1 w) est la phase, v est la pulsation
v =
2p
T
= 2p · n
et
w la phase à l’origine des temps.
Remarque : un courant de la forme i(t) = I 1 1 I 2 · sin(v · t 1 w) n’est pas un courant
sinusoïdal (sa valeur moyenne sur une période n’est pas nulle) : c’est la somme d’un
courant constant (I 1 ) et d’un courant sinusoïdal I 2 · sin(v · t 1 w). On dit parfois que
c’est un courant qui possède une composante continue.
Théorème de FOURIER (1830) : toute fonction périodique f (t) est décomposable en une
somme infinie de fonctions sinusoïdales dont les fréquences sont des multiples entiers de
la fréquence fondamentale de f (t).
Ce théorème permet donc de se ramener au cas des fonctions sinusoïdales pour étudier
n’importe quelle fonction périodique.
I M
y
x
ϕ
ω
• Représentation par un vecteur (FRESNEL, 1819) : on associe un vecteur au scalaire i(t) = I M sin(vt 1 w). Ce vecteur
est représenté à l’instant t = 0, a pour module I M et pour
phase l’angle w. Quand le temps t croît, ce vecteur tourne
autour de l’origine à la vitesse angulaire v
y
x
ϕ
dY
——
dt
Y . dt
Y
Le vecteur associé à la fonction dérivée di/dt est en quadrature avance de p/2, sur celui de i(t), tandis que le vecteur
associé à la primitive
i(t) · dt est en quadrature retard de
p/2 sur celui de i(t). Ainsi, di/dt et
i(t) · dt sont deux
grandeurs en opposition de phase.
• Représentation complexe (Kennelly, vers 1900) : au scalaire i(t) = I M · sin(v · t 1 w), on associe le nombre complexe
z tel que z = I M · e
jw
· e
jv·t avec j =
√ −1.
Remarque : pour indiquer que z est un complexe, on trace un trait au-dessous. On
utilise la notation j pour éviter toute confusion avec le courant i.
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i
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3. LES RÉGIMES SINUSOÏDAUX
3.1. Grandeurs sinusoïdales
Un courant alternatif transporte la même quantité d’électricité à chaque alternance (dans
un sens puis dans l’autre). L’intensité moyenne (sur un nombre pair d’alternances) est donc
nulle i = 0.
Un courant périodique est tel qu’il existe une durée T telle que i(t 1 T ) = i(t). La durée
T est la période du courant (ou de la tension). La fréquence n (en Hz) est l’inverse de la
période : n =
1
T
.
Un courant sinusoïdal est décrit par la fonction i(t) = I M · sin(v · t 1 w) où I M est
l’intensité maximale, (v · t 1 w) est la phase, v est la pulsation
v =
2p
T
= 2p · n
et
w la phase à l’origine des temps.
Remarque : un courant de la forme i(t) = I 1 1 I 2 · sin(v · t 1 w) n’est pas un courant
sinusoïdal (sa valeur moyenne sur une période n’est pas nulle) : c’est la somme d’un
courant constant (I 1 ) et d’un courant sinusoïdal I 2 · sin(v · t 1 w). On dit parfois que
c’est un courant qui possède une composante continue.
Théorème de FOURIER (1830) : toute fonction périodique f (t) est décomposable en une
somme infinie de fonctions sinusoïdales dont les fréquences sont des multiples entiers de
la fréquence fondamentale de f (t).
Ce théorème permet donc de se ramener au cas des fonctions sinusoïdales pour étudier
n’importe quelle fonction périodique.
I M
y
x
ϕ
ω
• Représentation par un vecteur (FRESNEL, 1819) : on associe un vecteur au scalaire i(t) = I M sin(vt 1 w). Ce vecteur
est représenté à l’instant t = 0, a pour module I M et pour
phase l’angle w. Quand le temps t croît, ce vecteur tourne
autour de l’origine à la vitesse angulaire v
y
x
ϕ
dY
——
dt
Y . dt
Y
Le vecteur associé à la fonction dérivée di/dt est en quadrature avance de p/2, sur celui de i(t), tandis que le vecteur
associé à la primitive
i(t) · dt est en quadrature retard de
p/2 sur celui de i(t). Ainsi, di/dt et
i(t) · dt sont deux
grandeurs en opposition de phase.
• Représentation complexe (Kennelly, vers 1900) : au scalaire i(t) = I M · sin(v · t 1 w), on associe le nombre complexe
z tel que z = I M · e
jw
· e
jv·t avec j =
√ −1.
Remarque : pour indiquer que z est un complexe, on trace un trait au-dessous. On
utilise la notation j pour éviter toute confusion avec le courant i.
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