i
i
i
i
i
i
i
i
4. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES
Les définitions et théorèmes tels qu’ils sont énoncés ici sont valables aussi bien pour des
solides indéformables que pour des systèmes déformables.
4.1. Préliminaire
Au sens classique, un système S peut être défini comme un ensemble de points matériels
M i , chacun étant affecté d’une masse m i . Le passage à des distributions continues de masse
s’impose souvent lorsque l’on calcule les grandeurs mécaniques (moments d’inertie ou
positions de centres de gravité,...). Il est cependant plus pratique de retenir les définitions
sous forme discrète et facile de retrouver rapidement tous les théorèmes de la mécanique
des systèmes en utilisant des sommes discrètes plutôt que des intégrales.
Le passage du discret au continu pour une grandeur mécanique A s’effectue en remplaçant :
i
A(M i )m i par
A(M)dm.
4.2. Centre d’inertie ; référentiel barycentrique
Le centre d’inertie G du système matériel S, de masse totale m est défini par :
− − →
OG =
Mi∈S
m i
−−→
OM i
m
ce qui peut s’écrire
− − →
OG =
S
− − →
OMdm
m
dans le cas d’une distribution continue.
– La position de G ne dépend pas du choix de O.
– Si la distribution de masse du système présente des symétries (plans, axes), G est à
l’intersection de ses éléments de symétrie. Pour déterminer les éléments de symétrie de
S, l’examen de la forme géométrique ne suffit pas. Il faut penser à l’homogénéité de la
distribution de masse.
Le référentiel barycentrique (R ba ) associé à R a son origine en G et est en translation
(généralement non rectiligne) par rapport à R ; les axes du repère barycentrique sont à
tout instant parallèles aux axes de R.
R
O
G
G
R ba
R ba
Instant t 1
Instant t 2
26
i
i
i
i
i
i
i
4. MÉCANIQUE DES SYSTÈMES
Les définitions et théorèmes tels qu’ils sont énoncés ici sont valables aussi bien pour des
solides indéformables que pour des systèmes déformables.
4.1. Préliminaire
Au sens classique, un système S peut être défini comme un ensemble de points matériels
M i , chacun étant affecté d’une masse m i . Le passage à des distributions continues de masse
s’impose souvent lorsque l’on calcule les grandeurs mécaniques (moments d’inertie ou
positions de centres de gravité,...). Il est cependant plus pratique de retenir les définitions
sous forme discrète et facile de retrouver rapidement tous les théorèmes de la mécanique
des systèmes en utilisant des sommes discrètes plutôt que des intégrales.
Le passage du discret au continu pour une grandeur mécanique A s’effectue en remplaçant :
i
A(M i )m i par
A(M)dm.
4.2. Centre d’inertie ; référentiel barycentrique
Le centre d’inertie G du système matériel S, de masse totale m est défini par :
− − →
OG =
Mi∈S
m i
−−→
OM i
m
ce qui peut s’écrire
− − →
OG =
S
− − →
OMdm
m
dans le cas d’une distribution continue.
– La position de G ne dépend pas du choix de O.
– Si la distribution de masse du système présente des symétries (plans, axes), G est à
l’intersection de ses éléments de symétrie. Pour déterminer les éléments de symétrie de
S, l’examen de la forme géométrique ne suffit pas. Il faut penser à l’homogénéité de la
distribution de masse.
Le référentiel barycentrique (R ba ) associé à R a son origine en G et est en translation
(généralement non rectiligne) par rapport à R ; les axes du repère barycentrique sont à
tout instant parallèles aux axes de R.
R
O
G
G
R ba
R ba
Instant t 1
Instant t 2
26