i
i
i
i
i
i
i
i
tend vers 1, d’où
− →
M = − → m N : tous les moments magnétiques − → m sont parallèles à
− →
B ext : il
y a saturation.
52 1. Si
− →
A =
− →
B ∧ − → r
2
=
1
2
zB y − yB z
xB z − zB x
yB x − xB y
. Le calcul de
− →
rot
− →
A permet d’établir que
− →
B =
− →
rot
− →
A .
2.
− →
E = −
≠
− →
A
≠t
= −
≠
≠t
− →
B ∧ − → r
2
= −
− →
b ∧
− − →
OM
2
.
3.
− →
f = −e
− →
E =
e
2
− →
b ∧ − → r .
− →
G N =
− − →
OM ∧
− →
f =
e
2
[OM
2 − →
b − (
− − →
OM.
− →
b )
− − →
OM]. En
coordonnées cartésiennes, on obtient :
− →
G N =
e
2
(x
2 1 y
2 1 z
2 )b x − (xb x 1 yb y 1 zb z )x
(x
2 1 y
2 1 z
2 )b y − (xb x 1 yb y 1 zb z )y
(x
2 1 y
2 1 z
2 )b z − (xb x 1 yb y 1 zb z )z
4.
x
2 1 y
2 1 z
2
= a
2 ,
x
2
=
y
2
=
z
2
=
a
2
3
et xy = yz = zx = 0. D’où
− →
G N
=
ea
2
3
− →
b =
ea
2
3
≠
− →
B
≠t
.
5.
d
− →
J
dt
=
− →
G N
. Ici
− →
J =
− →
L d’où
d
− →
L
dt
=
ea
2
3
≠
− →
B
≠t
. Or
− →
M = −
e
2m
− →
L .
L’équation différentielle sur
− →
M s’écrit
d
− →
M
dt
= −
e
2 a
2
6m
≠
− →
B
≠t
.
qui s’intègre en :
− →
M = −
e
2 a
2
6m
− →
B 1
− →
Cte.
La constante s’annule car, à t = 0,
− →
B =
− →
M =
− →
0 .
6.
− →
M = N
− →
M = −
e
2 a
2 N
6m
− →
B = x m
− →
H = x m
− →
B
m o
d’où x m = −
e
2 a
2 N m o
6m
< 0 : le matériau
est bien diamagnétique. Pour Z électrons
x m =
Z
i=1
−
e
2 a
2
i N m o
6m
.
Avec Za
2 =
Z
i=1 a
2
i il vient x m = −
Ze
2 a
2 N m o
6m
.
252