solutions des exercices
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P
Σ 2
Σ 1
O
dS
S 1 porte s 1 = −P et S 2 porte s 2 = 1P.
Soit
− →
dE x le champ créé par l’élément dS de
S 2 portant s 2 :
− →
dE x =
sdS cos u
4p´ o r 2
− → u z =
s
4p´ o r 2 dV − → u x
où dV est l’angle solide sous lequel on voit
dS. Si V est l’angle solide sous lequel on
voit S 2 à partir du point O :
− →
E = 2
s
4p´ o
V − → u x =
2
− →
P V
4p´ o
.
Or l’angle solide de tout l’espace vaut 4p et
les six faces du cube jouent le même rôle,
d’où
V =
4p
6
et
− →
E =
2
− →
P 4p
4p´ 0 .6
=
− →
P
3´ o
.
5. Pour un cube d’orientation quelconque, on introduit le trièdre Oxyz lié aux côtés du
cube. Soient P x , P y , P z les composantes de
− →
P sur ces axes pour les deux plans parallèles
à yOz il apparaît s x = ±P x qui créent E x =
P x
3´ o
. De même E y =
P y
3´ o
et ext
P z
3´ o
d’où
− →
E =
− →
P
3´ o
quelle que soit l’orientation du cube par rapport à
− →
P .
41 1. Méthode itérative
− →
E o crée
− →
P 1 = ´ o x e
− →
E o ;
− →
P 1 crée
− →
E 1 = −
− →
P 1
3´ o
= −
x e
3
− →
E o ;
− →
E 1 crée
− →
P 2 = ´ o x e
− →
E 1 = −
´ o x
2
e
3
− →
E o ;
− →
P 2 crée
− →
E 2 = −
− →
P 2
3´ o
= 1
x
2
e
9
− →
E o ;
− →
E 2 crée
− →
P 3 = ´ o x e
− →
E 2 =
´ o x
3
e
3 2
− →
E o ;
− →
P 3 crée
− →
E 3 = −
− →
P 3
3´ o
= 1
x
3
e
27
− →
E o ;
− →
E 3 crée
−
→
P 4 = ´ o x e
− →
E 3 = −
´ o x
4
e
3 3
− →
E o etc ...
− →
E =
− →
E o 1
− →
E 1 1
− →
E 2 1
− →
E 3 1 ... =
− →
E o
1 −
x e
3
1
x
2
e
3 2 −
x
3
e
3 3 1
x
4
e
3 4 1 ...
=
− →
E o
1 1
x e
3
.
Ce résultat est valable si
x e
3
< 1 soit pour x e < 3.
2. Méthode self-consistante
− →
E =
− →
E o 1
− →
E d où
− →
E d est le champ dépolarisant.
− →
E crée
− →
P = ´ o x e
− →
E . On peut aussi
concevoir le vecteur polarisation
−
→
P comme étant créé par le champ dépolarisant
− →
E d tel
que
− →
E d = −
− →
P
3´ o
= −
x e
3
− →
E . On obtient alors
− →
E =
− →
E o 1
− →
E d =
− →
E o −
x e
3
− →
E d’où
− →
E =
− →
E o
1 1
x e
3
. Ce résultat est valable ici quel que soit x e .
2. ÉLECTROMAGNÉTISME
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