i
i
i
i
i
i
i
i
P
U
– Q P
Q P
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
2.
− →
p = q
−−−→
G 1 G − avec q = −6e
d’où
−−−→
G 1 G − =
− →
p
6e
.
−−−→
G 1 G −
= 5,9.10
−19 m.
3.
− →
P = ´ o x
− →
E . Ici E =
U
d
d’où x =
Pd
´ o U
= 2,3.
4. s p =
− →
P · − → n d’où Q p = PS = 5.10
−11 C.
5. ´ r = 1 1 x = 3,3 et ´ = ´ o ´ r = 2,9.10
−11 Fm
−1 .
6. C o = ´ o
S
d
= 2,2.10
−13 F et C = ´ r C o = 7,3.10
−13 F.
38 1. La sphère crée, à l’extérieur, le même champ qu’un dipôle de moment dipolaire
− →
p tel que
− →
p = v
− →
P où v =
4
3
pR
3 d’où
− →
p =
4
3
pR
3 − →
P .
2. Le potentiel créé par un dipôle s’écrit :
V (M) =
p cos u
4p´ o r 2
d’où le potentiel créé par la sphère à l’extérieur :
V (M) =
R
3 P cos u
3´ o r 2 .
3. Quand r = R, V (M
) =
RP cos u
3´ o
or z = R cos u d’où V (M
) =
Pz
3´ o
.
4. Quand r < R :
− →
P est uniforme, donc r p = − div
− →
P = 0. L’équation de Poisson s’écrit
DV 1
r p
´ o
= 0 soit DV = 0 d’où
≠
2 V
≠z 2 = 0,
≠V
≠z
= A et V = Az 1 B. La continuité du
potentiel en r = R entraîne que la solution V =
Pz
3´ o
convient (on a alors V (O) = 0).
Enfin
− →
E = −
− − →
gradV conduit à
E = E z = −
dV
dz
= −
P
3´ o
soit
− →
E int = −
− →
P
3´ o
le champ électrique est uniforme dans la sphère.
242