solutions des exercices
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En remplaçant par les expressions de B en fonction du temps et dans la limite où a l,
il vient :
− →
F = −i2p
F o
l
sin[(v − v o )t] − → u x
= −2p
F
2
o
l
(v − v o )
R 2 1 L 2 (v o − v) 2
sin[(v − v o )t] sin[(v − v o )t 1 w] − → u x
ω 0
ω 0 + R/L
ω 0 – R/L
ω
F m
F m,max
F 0
C
A
B
La valeur moyenne du produit des sinus
vaut
cos w
2
=
R
2
R 2 1 L 2 (v o − v) 2
,
d’où :
F m = −p
RF
2
o
l
(v − v o )
R 2 1 L 2 (v o − v) 2
= −p
RF
2
o
l
V
R 2 1 L 2 V 2
en posant V = v − v o . F m (V) est
une fonction impaire qui s’annule pour
V = 0. Sa dérivée s’annule pour
V M = v M − v o = ±
R
L
, soit pour
v M = v o ±
R
L
si R < Lv o . On obtient alors F m,max = p
RF
2
o
2lL
. De plus
F m (v = 0) = p
RF
2
o
l
v o
R 2 1 L 2 (v o − v) 2 = F.
3. Le dispositif fonctionne en moteur s’il fournit de la puissance mécanique, donc si
− →
F m · − → v =
l
2p
vF m > 0. Il faut alors que v(v − v o ) soit négatif.
a. si v > 0, il faut que v < v o ou v <
lv o
2p
b. si v < 0, il faut que v > v o ou v >
lv o
2p
.
En présence de la force de frottement
− →
F f = −F f
− → u x , le moteur démarre si :
m
d − → v
dt
=
− →
F m 1
− →
F f >
− →
0
doncsi
F f <
pRF
2
o
l
v o
R 2 1 (Lv o ) 2
Le cadre se met alors en mouvement et le point de fonctionnement décrit la courbe ABC.
Il trouve un régime stationnaire en C. Ce point est un point de fonctionnement stable
car si v augmente F m diminue et inversement.
2. ÉLECTROMAGNÉTISME
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