solutions des exercices
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i
B
z
x
y
α
ω
ω 0
+
n
33 1. F =
− →
B . − → n dS = BS cos(
− → n ,
− →
B ). Or à
t = 0, a = (
− → n o ,
− →
B o ) et au temps t, (
− → n o , − → n ) = vt,
(
− →
B o ,
− →
B ) = v o t. D
où, en posant F o = BS :
F = F o cos[(v o − v)t 1 a]
On en déduit e = −
dF
dt
= F o (v o −v) sin[(v o −v)t1a].
D’autre part e = Ri 1 L
di
dt
. On cherche une solution de la forme i = Im(i) avec
i = I e
j[(vo−v)t1a] et I = Ie
jw . Les deux expressions de e conduisent à :
F o (v o − v) = RI 1 jL(v o − v)I
d’où I =
(v o − v)F o
R 2 1 L 2 (v o − v) 2
et w = tan
−1 L(v − v o )
R
.
i(t) = I sin[(v o − v)t 1 a 1 w]
2. La bobine, parcourue par un courant i, possède un moment magnétique
− →
M = iS − → n .
Sous l’action de
− →
B , elle est soumise au couple de moment
− →
G =
− →
M ∧
− →
B parallèle à z
z.
Le module de ce moment vaut :
G(t) = I F o sin[(v o − v)t 1 a] sin[(v o − v)t 1 a 1 w]
Or, sin u sin(u 1 w) =
1
2
cos w d’où
G m =
1
2
I o F o cos w =
F
2
o R(v o − v)
2[R 2 1 L 2 (v o − v) 2 ]
Dans une rotation de la bobine d’un angle élémentaire vdt , celle-ci reçoit le travail des
forces électromagnétiques qui vaut dW = G m du = G m vdt. On est en présence d’un
moteur si dW > 0, soit G m > 0 d’où (v o − v) > 0 et v o > v.
3. G m (v = 0) =
F
2
o Rv o
2[R 2 1 L 2 v 2
o ]
, G m (v = v o ) = 0.
dG m
dV
=
F
2
o R
2
L
2 (v o − v)
2
− R
2
[R 2 1 L 2 (v o − v) 2 ] 2 = 0 si v max = v o −
R
L
qui n’existe que si v o >
R
L
.
Le dispositif est moteur au-dessus de l’axe des abscisses et résistant en dessous.
2. ÉLECTROMAGNÉTISME
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