i
i
i
i
i
i
i
i
x
O
F
f
F r
La figure suivante représente le solénoïde vu de côté,
supposé se déplacer dans le sens des x positifs, avec
dx
dt
< 0. L’équation précédente, projetée sur l’axe x
x
devient : −iB − kx − m
dx
dt
= m
d
2 x
dt 2 ou encore
¨ x 1
m
m
˙
x 1
f
m
x = −
B
m
i
(1)
2. Pendant la durée dt, chaque spire du solénoïde s’est déplacée de dx = vdt et elle a
coupé le flux |dF c | = |Bvdt|. D’où e = −
dF c
dt
, |e| = Bv. Le déplacement entraîne
un courant induit de sens opposé à i (loi de Lenz), le courant induit est donc négatif, de
même que le f.e.m. e.
e = −Bv
R
u L
i
e
u
L
Le schéma électrique équivalent du solénoïde est représenté sur la figure ci-contre. La loi des mailles s’écrit :
u − e − u L = 0 soit encore :
u = Ri 1 L
di
dt
− Bv
(2)
3. u(t) = U
√
2 cos vt , U = U , I = Ie
−jw , V = Ve
−jC d’où ¨
X = jvV et X =
V
jv
. En
remplaçant dans (1) :
V =
−BI
m 1 j
vm −
k
v
On fait de même dans (2) qui devient U = (R 1 jLv)I − BV = Z I d’où
Z = (R 1 jLv) 1
B
2
2
m 1 j
vm −
k
v
= Z L 1 Z m avec Z m = R m 1 jX m .
R m =
B
2
2 m
m 2 1
vm −
k
v
2
et
X m =
B
2
2
k
v
− mv
m 2 1
vm −
k
v
2
4. L’équation d’un tel cercle est : (R m − R o )
2 1 X
2
m = R
2
o soit R
2
m 1 X
2
m = 2R o R m . Elle
est vérifiée en prenant les expressions de R m et X m obtenues à la question précédente et
R o =
B
2
2
2m
.
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