solutions des exercices
i
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i
i
d. En dérivant (e1) et en éliminant
dV
dt
entre (e1 dérivée) et (me), il vient :
L
d
2 i
dt 2 1 r
di
dt
1
K
2
J
i =
Kmga
J C
(dif )
e. (i) - En utilisant (e1) ainsi que la continuité de i et v :
di
dt
(t = 0
1 ) = −
r
L
i o = −3,5 As
−1
En utilisant (me) :
dv
dt
(t = 0
1 ) =
Ki o
J
−
mga
J C
= 1,83.10
3 rad.s
−2 .
En utilisant (el) : v(t = 0
1 ) = L
di
dt
(t = 0
1 ) 1 r L i o = −12,5 V.
(ii) - La solution générale de l’équation (dif ) sans second membre tend vers zéro quand
t → ∞. i lim représente alors la solution particulière de l’équation (dif ) avec second
membre.
(iii) - i lim =
mga
J C
= 66 mA ; v lim = −
ri lim
K
= −1,54 rad.s
−1 ; u lim = r L i lim = 1,32 V.
f.1. La courbe 1 correspond à i(t), la courbe 2 à v(t) car v(0
1 ) = 0 et i
1 (0
1 ) fi 0.
f.2. Soit t = t o tel que v(t o ) = 0, d’après la courbe 2, t o = 0,21 s.Pour t < t o , le travail
du poids est négatif, la machine se comporte comme un moteur. Pour t > t o , le travail du
poids est positif, la machine se comporte comme une génératrice.
f.3. i(0) = 250 mA v(0) = 0 rad/s i lim = 66 mA v lim = −154 rad/s.
f.4. L’altitude de la masselote est maximum quand
dz
dt
= 0, soit pour v = 0 qui
correspond à t o = 0,21 s.
f.5. u max =
1
2
.60.0,21 = 6 rad
z max =
au max
C
= 6 mm.
f.6. Pour z = z max , E p,max = mgz max = 12 mJ en prenant E p (z = 0) = 0. Or l’énergie
stockée initialement dans la bobine valait W m =
1
2
Li
2
o = 156 mJ. Une importante partie
de cette énergie a été dissipée par effet Joule dans les résistances et seulement 7 % de
l’énergie initiale a servi à remonter la masselote.
e x
df
B
i
a
+
29 1. La vue de face du solénoïde est représentée ci-contre :
− →
df = i
− →
d ∧
− →
B = −iBd − → e x or
d = 2pNa d’où
− →
f = −iB − → e x .
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit :
− →
P 1
− →
R 1
− →
f 1
− →
F 1
− →
F r = m − → a
2. ÉLECTROMAGNÉTISME
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d. En dérivant (e1) et en éliminant
dV
dt
entre (e1 dérivée) et (me), il vient :
L
d
2 i
dt 2 1 r
di
dt
1
K
2
J
i =
Kmga
J C
(dif )
e. (i) - En utilisant (e1) ainsi que la continuité de i et v :
di
dt
(t = 0
1 ) = −
r
L
i o = −3,5 As
−1
En utilisant (me) :
dv
dt
(t = 0
1 ) =
Ki o
J
−
mga
J C
= 1,83.10
3 rad.s
−2 .
En utilisant (el) : v(t = 0
1 ) = L
di
dt
(t = 0
1 ) 1 r L i o = −12,5 V.
(ii) - La solution générale de l’équation (dif ) sans second membre tend vers zéro quand
t → ∞. i lim représente alors la solution particulière de l’équation (dif ) avec second
membre.
(iii) - i lim =
mga
J C
= 66 mA ; v lim = −
ri lim
K
= −1,54 rad.s
−1 ; u lim = r L i lim = 1,32 V.
f.1. La courbe 1 correspond à i(t), la courbe 2 à v(t) car v(0
1 ) = 0 et i
1 (0
1 ) fi 0.
f.2. Soit t = t o tel que v(t o ) = 0, d’après la courbe 2, t o = 0,21 s.Pour t < t o , le travail
du poids est négatif, la machine se comporte comme un moteur. Pour t > t o , le travail du
poids est positif, la machine se comporte comme une génératrice.
f.3. i(0) = 250 mA v(0) = 0 rad/s i lim = 66 mA v lim = −154 rad/s.
f.4. L’altitude de la masselote est maximum quand
dz
dt
= 0, soit pour v = 0 qui
correspond à t o = 0,21 s.
f.5. u max =
1
2
.60.0,21 = 6 rad
z max =
au max
C
= 6 mm.
f.6. Pour z = z max , E p,max = mgz max = 12 mJ en prenant E p (z = 0) = 0. Or l’énergie
stockée initialement dans la bobine valait W m =
1
2
Li
2
o = 156 mJ. Une importante partie
de cette énergie a été dissipée par effet Joule dans les résistances et seulement 7 % de
l’énergie initiale a servi à remonter la masselote.
e x
df
B
i
a
+
29 1. La vue de face du solénoïde est représentée ci-contre :
− →
df = i
− →
d ∧
− →
B = −iBd − → e x or
d = 2pNa d’où
− →
f = −iB − → e x .
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit :
− →
P 1
− →
R 1
− →
f 1
− →
F 1
− →
F r = m − → a
2. ÉLECTROMAGNÉTISME
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