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2.4. Aspect énergétique
À partir de l’équation différentielle, on multiplie chaque membre par ˙
x, et on intègre
entre t 1 et t 2 :
m¨ x(t)˙ x(t) 1 kx(t)˙ x(t) = −h˙ x(t)
2
E(t 2 ) − E(t 1 ) =
t 2
t 1
− →
f · − → v dt = −
t 2
t 1
h˙ x(t)
2 dt
L’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique amorti diminue au cours du temps : la
variation d’énergie mécanique du système entre deux instants est égale au travail de la
force de frottement entre ces deux instants.
➜ Voir exercices 16 à 17
3. OSCILLATIONS FORCÉES : L’OSCILLATEUR HARMONIQUE
ENTRETENU ; RÉSONANCE
L’oscillateur harmonique entretenu est soumis de plus à une force extérieure périodique
et sinusoïdale F(t) de période T .
3.1. Recherche du régime permanent
À une dimension, le principe fondamental de la dynamique conduit à une équation
différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. La solution générale est
la somme de l’intégrale générale de l’équation sans second membre et d’une intégrale
particulière de l’équation avec second membre :
¨ x(t) 1
1
t
˙
x(t) 1 v
2
0 x(t) = F(t)/m
La solution générale de l’équation sans second membre se caractérise par le fait que sa
limite tend vers 0 lorsque t tend vers l’infini, quel que soit le régime transitoire ; dans
la pratique, cette solution « s’écrase » sur un temps caractéristique de quelques t. Cela
sous-entend évidemment, que le frottement fluide n’est pas nul.
F(t) étant une excitation sinusoïdale, on est amené à chercher une réponse sinusoïdale
z(t) de même fréquence. On utilise la représentation complexe (x = Re(z)) :
¨ z(t) 1
1
t
˙
z(t) 1 v
2
0 z(t) =
f 0 /m
e
ivt => z(t) = z 0 e
ivt
avec
z 0 =
f 0
m
3
1
(v
2
0 − v 2 ) 1 iv/t
1. MÉCANIQUE
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