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– Si D > 0 (2v 0 t < 1), soit (h > 2
√
mk), le régime est apériodique : amortissement assez
important. L’équation caractéristique a 2 racines réelles négatives distinctes r 1 et r 2 .
La solution générale s’écrit :
x(t) = a exp(r 1 t) 1 b exp(r 2 t)
La particule retourne à sa position d’équilibre sans effectuer d’oscillations. Il est important
de remarquer que le fait que les racines soient négatives assure le retour à l’équilibre (la
limite de la vitesse lorsque t tend vers l’infini est zéro).
– Si D < 0 (2v 0 t > 1), soit (h < 2
√
mk), le régime est oscillatoire : amortissement
assez faible. L’équation caractéristique a deux racines complexes distinctes c 1 et c 2 à partie
réelle négative ; la solution générale complexe s’écrit : X (t) = a exp(c 1 t) 1 b exp(c 2 t).
L’élongation est alors la partie réelle (notée x) de X ; il apparaît naturellement dans le
calcul la pulsation
V =
v
2
0 − 1/4t 2
On écrit la solution :
x(t) = exp(−t/2t)(a cos Vt 1 b sin Vt)
La particule retourne à sa position d’équilibre en effectuant des oscillations dont l’amplitude décroît exponentiellement, avec un temps caractéristique de l’ordre de 2t ; bien que
la fonction x(t) ne soit pas périodique, on remarque qu’elle s’annule à des intervalles de
temps égaux permettant de définir une pseudo-période T = 2p/V.
La pseudo-période des oscillations amorties est toujours un petit peu plus élevée que la
période propre, mais en reste très proche dans la limite de l’amortissement faible.
Le décrément logarithmique d caractérise la rapidité de l’amortissement ; c’est le rapport
entre les deux temps caractéristiques qui apparaissent naturellement dans l’équation différentielle, à savoir la période propre et le temps de relaxation. L’amplitude des oscillations
décroît d’autant plus vite que d est élevé.
x(t 1 T )/x(t) = exp(−T /2t) et d = T /2t
Le rapport des amplitudes des oscillations espacées d’une pseudo-période est une
constante égale à exp(−d).
– Si D = 0 (2v 0 t = 1), (soit h = 2
√
mk), le régime est critique : c’est le régime qui assure
la transition entre le régime apériodique et le régime oscillatoire. La solution générale
s’écrit :
x = (at 1 b) exp(−t/2t)
La particule retourne à sa position d’équilibre sans effectuer d’oscillations. Il est facile
de montrer que, pour des conditions initiales et pour v 0 et t fixés, le temps que met la
particule pour retourner à l’équilibre est alors minimal.
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– Si D > 0 (2v 0 t < 1), soit (h > 2
√
mk), le régime est apériodique : amortissement assez
important. L’équation caractéristique a 2 racines réelles négatives distinctes r 1 et r 2 .
La solution générale s’écrit :
x(t) = a exp(r 1 t) 1 b exp(r 2 t)
La particule retourne à sa position d’équilibre sans effectuer d’oscillations. Il est important
de remarquer que le fait que les racines soient négatives assure le retour à l’équilibre (la
limite de la vitesse lorsque t tend vers l’infini est zéro).
– Si D < 0 (2v 0 t > 1), soit (h < 2
√
mk), le régime est oscillatoire : amortissement
assez faible. L’équation caractéristique a deux racines complexes distinctes c 1 et c 2 à partie
réelle négative ; la solution générale complexe s’écrit : X (t) = a exp(c 1 t) 1 b exp(c 2 t).
L’élongation est alors la partie réelle (notée x) de X ; il apparaît naturellement dans le
calcul la pulsation
V =
v
2
0 − 1/4t 2
On écrit la solution :
x(t) = exp(−t/2t)(a cos Vt 1 b sin Vt)
La particule retourne à sa position d’équilibre en effectuant des oscillations dont l’amplitude décroît exponentiellement, avec un temps caractéristique de l’ordre de 2t ; bien que
la fonction x(t) ne soit pas périodique, on remarque qu’elle s’annule à des intervalles de
temps égaux permettant de définir une pseudo-période T = 2p/V.
La pseudo-période des oscillations amorties est toujours un petit peu plus élevée que la
période propre, mais en reste très proche dans la limite de l’amortissement faible.
Le décrément logarithmique d caractérise la rapidité de l’amortissement ; c’est le rapport
entre les deux temps caractéristiques qui apparaissent naturellement dans l’équation différentielle, à savoir la période propre et le temps de relaxation. L’amplitude des oscillations
décroît d’autant plus vite que d est élevé.
x(t 1 T )/x(t) = exp(−T /2t) et d = T /2t
Le rapport des amplitudes des oscillations espacées d’une pseudo-période est une
constante égale à exp(−d).
– Si D = 0 (2v 0 t = 1), (soit h = 2
√
mk), le régime est critique : c’est le régime qui assure
la transition entre le régime apériodique et le régime oscillatoire. La solution générale
s’écrit :
x = (at 1 b) exp(−t/2t)
La particule retourne à sa position d’équilibre sans effectuer d’oscillations. Il est facile
de montrer que, pour des conditions initiales et pour v 0 et t fixés, le temps que met la
particule pour retourner à l’équilibre est alors minimal.
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