i
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i
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i
i
i
i
2.2. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti
L’hypothèse harmonique suppose que la réponse est linéaire : la force de rappel est
proportionnelle au déplacement x de la particule par rapport à sa position d’équilibre
stable. L’énergie potentielle est donc quadratique par rapport aux déplacements.
• Étude dynamique : à une dimension F x = −kx, où x repère le déplacement de la particule par rapport à l’équilibre, est la seule force qu’elle subit. Le principe fondamental de
la dynamique conduit à une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients
constants :
d
2 x
dt 2 1 v
2
0 x = 0
La solution générale peut s’écrire x(t) = a sin(v 0 t 1 f) où v
2
0 =
k
m
. v 0 est la pulsation
propre de l’oscillateur ; a et f dépendent de deux conditions initiales.
Les oscillations d’un oscillateur harmonique non amorti sont isochrones : leur pulsation ne dépend pas de l’amplitude du mouvement.
• Aspect énergétique : l’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique non amorti est
une intégrale première du mouvement. E m =
1
2
mv
2 1
1
2
kx
2 est constante, proportionnelle
au carré de l’amplitude des oscillations et au carré de la pulsation : E m =
1
2
ma
2 v
2
0
Un oscillateur harmonique ne possède que des états liés : deux barrières de potentiel le
confinent dans une région finie de l’espace.
Théorème du viriel : L’énergie cinétique et l’énergie potentielle de l’oscillateur harmonique sont
oscillantes, de période égale à T 0 /2. Leurs moyennes temporelles sont égales.
2.3. Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti par
frottement fluide
• Aspect dynamique ; mise en équation : en plus de la force de rappel F x = −kx, la
particule est soumise à une force de frottement fluide
− →
f = −h − → v (h > 0). L’équation
différentielle du mouvement s’écrit :
d
2 x
dt 2 1
1
t
dx
dt
1 v
2
0 x = 0
où
v
2
0 =
k
m
et
1
t
=
h
m
v 0 est la pulsation propre de l’oscillateur et t correspond physiquement à un temps de
relaxation ; c’est le temps caractéristique du régime libre. Lorsqu’on écarte le système
de l’équilibre et qu’on le lâche, il revient à sa position d’équilibre et au repos après
« quelques t ».
• Solutions de l’équation différentielle ; représentation complexe : l’équation caractéristique associée à l’équation différentielle est r
2 1 (1/t)r 1 v
2
0 = 0
La forme des solutions de l’équation différentielle dépend du signe de D = 1/t
2
− 4v
2
0
1. MÉCANIQUE
21
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2.2. Oscillateur harmonique unidimensionnel non amorti
L’hypothèse harmonique suppose que la réponse est linéaire : la force de rappel est
proportionnelle au déplacement x de la particule par rapport à sa position d’équilibre
stable. L’énergie potentielle est donc quadratique par rapport aux déplacements.
• Étude dynamique : à une dimension F x = −kx, où x repère le déplacement de la particule par rapport à l’équilibre, est la seule force qu’elle subit. Le principe fondamental de
la dynamique conduit à une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients
constants :
d
2 x
dt 2 1 v
2
0 x = 0
La solution générale peut s’écrire x(t) = a sin(v 0 t 1 f) où v
2
0 =
k
m
. v 0 est la pulsation
propre de l’oscillateur ; a et f dépendent de deux conditions initiales.
Les oscillations d’un oscillateur harmonique non amorti sont isochrones : leur pulsation ne dépend pas de l’amplitude du mouvement.
• Aspect énergétique : l’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique non amorti est
une intégrale première du mouvement. E m =
1
2
mv
2 1
1
2
kx
2 est constante, proportionnelle
au carré de l’amplitude des oscillations et au carré de la pulsation : E m =
1
2
ma
2 v
2
0
Un oscillateur harmonique ne possède que des états liés : deux barrières de potentiel le
confinent dans une région finie de l’espace.
Théorème du viriel : L’énergie cinétique et l’énergie potentielle de l’oscillateur harmonique sont
oscillantes, de période égale à T 0 /2. Leurs moyennes temporelles sont égales.
2.3. Oscillateur harmonique unidimensionnel amorti par
frottement fluide
• Aspect dynamique ; mise en équation : en plus de la force de rappel F x = −kx, la
particule est soumise à une force de frottement fluide
− →
f = −h − → v (h > 0). L’équation
différentielle du mouvement s’écrit :
d
2 x
dt 2 1
1
t
dx
dt
1 v
2
0 x = 0
où
v
2
0 =
k
m
et
1
t
=
h
m
v 0 est la pulsation propre de l’oscillateur et t correspond physiquement à un temps de
relaxation ; c’est le temps caractéristique du régime libre. Lorsqu’on écarte le système
de l’équilibre et qu’on le lâche, il revient à sa position d’équilibre et au repos après
« quelques t ».
• Solutions de l’équation différentielle ; représentation complexe : l’équation caractéristique associée à l’équation différentielle est r
2 1 (1/t)r 1 v
2
0 = 0
La forme des solutions de l’équation différentielle dépend du signe de D = 1/t
2
− 4v
2
0
1. MÉCANIQUE
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